Вычисление предела функции методом непосредственной подстановки
Примеры:
1. Найти 
Решение:
1 способ.
Применяя теоремы о пределах с последующей подстановкой предельного значения x=1 запишем:
2 способ.
Поскольку исходная функция есть алгебраическая сумма элементарных функций, непрерывных в области определения, а, следовательно, и при x=1, то согласно определению непрерывности функции 
имеем
Ответ: 
2. Найти 
Решение:
При x→3 числитель дроби стремится к числу 4, а знаменатель к числу 2.
Следовательно, применяя теоремы о пределах с последующей подстановкой предельного значения x=3 можно записать
Ответ: 2
3. Найти 
Решение:
При x→2 числитель дроби стремится к 0, а знаменатель к числу 10
Следовательно, применяя теоремы о пределах с последующей подстановкой предельного значения x=2 можно записать
Ответ: 0
III. МЕТОДЫ РАСКРЫТИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
При решении заданий на вычисление предела функции одной переменной встречаются различные виды неопределенностей. А именно: неопределенность вида 
, 
, 
, 
, 
.
Различные виды неопределенностей имеют свои методы раскрытия.
3.1. Неопределенность вида
Разложение числителя и знаменателя на множители с последующим сокращением
Примеры:
1. Найти 
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.
Для квадратного трёхчлена 
Где 
Для 3x2+x-4 получим: 
Для 
получим: 
Тогда
Ответ: -7
2. Найти 
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.
Для квадратного трёхчлена:
где
Для 
получим: 
Числитель разложим на множители следующим образом: 
Тогда 
Ответ: 
3. Найти 
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=3 числитель и знаменатель обращаются в нуль
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.
Для квадратного трёхчлена
где
Для 
получим: 
Знаменатель разложим по формуле
Для 
получим: 
Тогда 
Ответ: 
Деление многочлена на многочлен
1. Найти 
Решение:
= 
= 
-неопределенность, для раскрытия требуется дробь сократить.
Так как x=1 – корень многочленов, то многочлены кратны одночлену (x – 1):
x³+x²-2x x-1 3x³-3 x-1
-(x³-x²) x²+2x -(3x³-3x²) 3x²+3x+3
2x²-2x 3x²-3
-(2x²-2x) -(3x²-3x)
| | |
0 3x-3
-(3x-3)
| |
Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:
Вычислим предел:
.
Ответ: 