Расчет прямолинейного уравнения регрессии и коэффициента корреляции при ограниченном числе опытов

Таблица 1

№ детали

Используя данные, полученные в таблице 1, определим значение коэффициента корреляции по следующей зависимости:

Для вывода уравнения регрессии рассчитаем математическое ожидание значений и и СКО соответствующих величин:

Полученные данные подставим в уравнение регрессии:

ЗАДЩАНИЕ 5

Криволинейная корреляционная связь

Если коэффициент корреляции очень мал и прямолинейная связь с отсутствует, то возможна криволинейная связь. Для криволинейных корреляционных связей мерой силы связи является корреляционное отношение, которое определяется зависимостями:

- для связи с

- для связи с

Если с связаны однозначной связью, то . Если связи нет, то . Аналогичные свойства относятся и к . Корреляционная связь между и будет тем теснее, чем ближе к 1, и тем слабее, чем ближе к нулю.

Наиболее часто наблюдающейся в различных технических исследованиях криволинейной корреляционной связью является параболическая связь, которая выражается параболой -го порядка. Рассмотрим случай, когда уравнение регрессии имеет вид второго порядка:

где - постоянные коэффициенты,

- частное среднее значение , соответствующее различным заданным значениям .

Для определения коэффициентов составляются три уравнения:

(1)

где - общее число наблюдений,

- частота каждого значения .

Решение этих трех уравнений дает значения коэффициентов .

Задание. Вычислить параболическую регрессию для данных, сведенных в корреляционную таблицу.

Таблица 1

Значения	Значения
								-
			32,32	43,45	44,57			-

						32,32	614,08	17194,24	481438,72
						43,45	477,95	16250,30	552510,20
						44,57	267,42	10696,80
	-					-	1907,45	56617,34	1771092,92

Подставим полученные данные в систему уравнений (1):

В каждом из уравнений разделим числовые коэффициенты на коэффициент при :

Вычтем из второго уравнения первое, а из третьего уравнения – второе:

Разделим каждое из этих уравнений на соответствующий коэффициент при :

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим в уравнение , получим:

Подставим найденные значения и в уравнение , получим:

Таким образом, уравнение регрессии будет иметь вид:

Подставив в полученное уравнение значения , получим теоретические значения частных средних:

	33,72	36,36	38,28	39,48	39,96	39,72	38,76

ЗАДАНИЕ 6

Множественная корреляция

Корреляционные связи могут существовать не только между двумя, но и между несколькими признаками. Например, овальность после чистового шлифования зависит от припуска на чистовое шлифование и от овальности после предварительного шлифования. Припуск на шлифование зубьев зависит от величины деформации заготовок шестерен после термической обработки и от погрешности обработки, полученной после зубонарезания.

Исследование статистических связей между многими величинами является предметом теории множественной корреляции. В практике механической обработки деталей на металлорежущих станках чаще всего встречаются случаи линейной корреляционной связи между тремя величинами или тремя факторами.

Рассмотрим простейший случай линейной корреляционной связи между тремя величинами . Причем будем считать - величиной, зависящей от . Линейную корреляционную связь между этими величинами можно записать в виде уравнения:

где - постоянные коэффициенты, которые вычисляются с помощью коэффициентов корреляции между , между , между , а также СКО по формулам:

Мерой силы линейной связи между в совокупности служит коэффициент множественной корреляции или сводный коэффициент корреляции, который вычисляется следующим образом:

Примечание: коэффициент всегда положителен, его значение лежит в пределах от 0 до +1. Если равен 0, то не имеет линейной связи с , но возможна криволинейная связь. Если равен 1, то между существует точно линейная связь вида .

Для исследования наличия связи между , , а также для оценки влияния в отдельности на пользуются частными коэффициентами, которые обозначаются

- связь между при постоянном значении ,

- связь между при постоянном значении .

Эти коэффициенты вычисляются по формулам:

Смысл частных коэффициентов заключается в том, что они служат мерой линейной связи между при постоянном значении и при постоянном значении . Значения частных коэффициентов корреляции заключены в пределах от -1 до +1. Когда они равны 0, частная связь между , не может быть линейной. Если они равны 1, то связь точно линейная. Чем ближе значения частных коэффициентов к 1, тем теснее связь, тем ближе она к линейной.

Сравнивая и , можно установить, какой из факторов или оказывает более сильное влияние на . Чем больше величина частного коэффициента корреляции, тем теснее связь данного фактора с и тем сильнее его влияние на .

Для определения коэффициентов корреляции необходимо составить корреляционные таблицы для , , и произвести аналогичные вычисления, как было рассмотрено выше.

Пример. Кольца подшипников подвергаются предварительному и окончательному шлифованию на двух бесцентровых шлифовальных станках. Статистическими исследованиями установлено, что овальность после предварительного шлифования - , припуск под окончательное шлифование - , овальность после окончательного шлифования - характеризуются следующими показателями:

Установлены следующие величины коэффициентов корреляции между :

Необходимо определить:

- коэффициент множественной корреляции ;

- уравнение регрессии по ;

- частные коэффициенты корреляции и .

Вычислим значения коэффициентов :

Уравнение корреляционной связи с :

Вычислим частные коэффициенты корреляции:

Коэффициент множественной корреляции

Этот коэффициент достаточно велик и свидетельствует о наличии линейной связи между .

Частные коэффициенты корреляции показывают, что влияние на сильнее влияния на , так как связь между теснее, чем связь между . То же вытекает из анализа уравнения регрессии по . Следовательно, влияние овальности колец после предварительного шлифования сильнее, чем влияние припуска под чистовое шлифование на величину овальности после окончательной обработки.

ЗАДАНИЕ 7