Введите пределы интегрирования по t: t0 и tn

введите число разбиений n отрезка [t0, tn]

Р Е З У Л Ь Т А Т Ы

N числ.реш.

100 38.062661

аналитическое решение tr= 38.065081

Ошибка метода

Абсолютная 0.002420

Относительная 0.000064

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл от точки

А(0; 0) до точки В(1; 1) по кривым а) у=х, б) у=х², в) у= (см. рис.6).

program ivanov_kri2_1; {по трем кривым АВС (рис.6)}

Var

a,b,dx,dy1,dy2,dy3,xi,xc,yc1,yc2,yc3,s1,s2,s3,tr1,tr2,tr3:real;

n,i:integer;

function piv(x,y,dx,dy:real):real; {подынтегральное выражение}

Begin

piv:= y*dx+2*dy;

end;

function put1(x:real):real; {кривая интегрирования y=x }

Begin

put1:= x;

end;

function put2(x:real):real; {кривая интегрирования y=x²}

Begin

put2:= x*x;

end;

function put3(y:real):real; {кривая интегрирования y=x^1/3}

Begin

put3:= exp(ln(x)/3);

end;

Begin

{аналитическое решение}

tr1:=5/2; { по кривой y=x}

tr2:=7/3; { по кривой y=x²}

tr3:=11/4; { по кривой y= x^1/3}

writeln (‘введите число разбиений n отрезка [0,1]’);

read(n); {ввод n }

writeln (‘n=’, n:5);

writeln ( ‘ Р Е З У Л Ь Т А Т Ы’);{впереди 20 пробелов}

writeln;

writeln (“:13,‘кривая y=x y=x*x y=e(ln(x)/3’);{5,10,6 пробелов}

writeln;

a:=0; {абсцисса точки А}

b:=1; {абсцисса точки B}

dx:=(b–a)/n;

s1:=0; {интегральная сумма для кривой y=x }

s2:=0; {интегральная сумма для кривой y=x*x }

s3:=0; {интегральная сумма для кривой y=e(ln(x)/3}

xi:=a; {начальная точка частичных отрезков}

xс:=xi–dx/2; {серединная точка частичных отрезков}

for i:=1 to n do

Begin

xс:=xc+dx;

yc1:=put1(xc); {знач. подынтегр. ф-ции в серединной точке для y=x }

yc2:=put2(xc); {знач. подынтегр. ф-ции в серединной точке для y=x*x }

yc3:=put3(xc); {зн. подынтегр. ф-ции в серединной точке для e(ln(x)/3 }

dy1:= put1(xi+dx) – put1(xi); {приращение пути для y=x}

dy2:= put2(xi+dx) – put2(xi); {приращение пути для y= x*x}

dy3:= put3(xi+dx) – put3(xi); {приращение пути для y= e(ln(x)/3}

s1:= s1+ piv(xc,yc1,dx,dy1);

s2:= s2+ piv(xc,yc2,dx,dy2);

s3:= s3+ piv(xc,yc3,dx,dy3);

xi:=xi+dx;

end;

writeln(‘численные’, s1:20:6, s2:14:6, s3:14:6);

writeln;

writeln(‘аналитические’, tr1:16:6, tr2:14:6, tr3:14:6);

readln;

readln;

end.

Окно вывода отлаженной программы должно иметь вид:

Введите число разбиений n

n= 100

Р Е З У Л Ь Т А Т Ы

кривая y=x y=x*x y=e(ln(x)/3)

Численные 2.500000 2.333325 2.750122

Аналитические 2.500000 2.333333 2.750000

Пример 5. Найти площадь области, ограниченной эллипсом

x = a cos t, y = b sin t.

Площадь S области D, ограниченной кривой L, находят по формуле

S = .

program petrov_kri2_2; {площадь эллипса}

Var

t0,tn,dt,dx,dy,ti,tc,xi,yi,xi1,yi1,xc,yc,s,tr:real;

n,i:integer;

const a=2;

const b=3;

function piv(x,y,dx,dy:real):real; {подынтегральное выражение}

Begin

piv:= x*dy–y*dx;

end;

procedure put (t:real;varx,y:real); {кривая интегрирования }

Begin

x:=a*cos(t);

y:=b*sin(t);

end;

Begin

tr:=pi*a*b; {аналитическое решение}

{пределы интегрирования t0, tn}

t0:=0;

tn:=2*pi;

write (‘введите число разбиений n =’);

read(n); {ввод n }

writeln;

writeln ( ‘ Р Е З У Л Ь Т А Т Ы’);{впереди 12 пробелов}

writeln;

writeln (‘ числ.реш. аналит.реш.’);{6,7 пробелов}

dt:=(tn–t0)/n;

s:=0; {интегральная сумма}

ti:=t0; {начальная точка частичных угловых отрезков}

tс:=t0–dt/2; {серединная точка частичных угловых отрезков}

for i:=1 to n do

Begin

tс:=tc+dt;

put (tc,xc,yc); {знач. x и y в серед. точке част. угловых отрезков }

put (ti,xi,yi); { знач. x и y в начальной точке част. угловых отрезков }

put (ti+dt,xi1,yi1); { знач. x и y в конечной точке част. угловых отрезков }

dx:= xi1–xi; {приращение x на част. угловом отрезке}

dy:= yi1–yi; {приращение y на част. угловом отрезке}

s:= s+ piv(xc,yc,dx,dy); {интегральная сумма}

ti:=ti+dt;

end;

s:=s/2;

writeln(s:15:6, tr:16:6);

writeln;

writeln(‘ошибка метода’);

writeln(‘абсолютная’, abs(s–tr):18:6);

writeln(‘относительная’, abs((s–tr)/tr):15:6);

readln;

readln;

end.

Окно вывода отлаженной программы должно иметь вид:

введите число разбиений n=100

Р Е З У Л Ь Т А Т Ы

Числ.реш. аналит.реш.

18.846455 18.849556

Ошибка метода

Абсолютная 0.003100

Относительная 0.000164

Четвертый этап работы заключается в записи в отлаженную

программу (в раздел описания функций) описания «своего» подынтегрального выражения (в предложенных выше программах это piv), «своей» кривой интегрирования (put) и «своего» аналитического решения (tr). После отладки программы ее необходимо «пропустить» со значениями n, равными 5, 10, 25, 100,1000.

При записи «своих» выражений следует обратить внимание на операцию деления. Например, правильная запись дроби может иметь вид sqr(a)*a*b*c/(r*t*sqr(s)), или sqr(a)*a*b*c/ r / t / sqr(s), или a*a*a*b*c/(r*t*s*s), или какой-либо другой, но обязательно знаменатель должен быть в скобках или его множители должны быть отделены друг от друга операцией / (деление). Числитель брать в скобки нужно в случае, если это многочлен.

Другая особенность данного этапа состоит в ограниченности библиотеки встроенных функций PASCALя. Для записи встречающихся в заданиях функций используются функции

sin(x), cos(x), sqr t(x) ( ), sqr(x) (x²), atan(x) (arctg x), ln(x), abs(x) (|x|),

а также постоянная pi (π).

Для записи других функций следует пользоваться тождественными формулами :

tg x = , arcsin x = arctg , x^a = e^alnx,

arcctg x = – arctg x, arccos x = arcctg .

Еще два замечания:

1) Так как встроенная функция sqr(x) выполняется значительно дольше, чем операция * (умножение), то при возведении в целую степень при небольших значениях показателя степени желательно использовать операцию умножения.

2) Если в выражении функции некоторая степень встречается несколько раз, ее желательно вычислить один раз и в дальнейшем использовать вычисленное значение. Например, функцию y = x⁵ + sin(x⁵ + x⁴ – x³) можно описать так:

function primer (x:real):real;

y:real;

Begin

y:= x*x*x*x*x;

primer:= y+sin(y+y/x–y/x/x)

end;

Пятый этаппредставляет собой защиту работы.

При этом необходимо:

1. Знать определения криволинейных интегралов первого и второго рода,

методы аналитического и численного вычисления данных интегралов (в пределах данной методички).

2. Уметь объяснять полученные результаты, как-то, как и почему влияет на оценку интеграла число разбиений отрезка интегрирования.

3. Уметь объяснять функциональное назначение отдельных операторов и мест в программе.

4. Показать результаты аналитических расчетов в рабочей тетради.

5. При небольшом значении n вручную получить приближенное значение какого-нибудь простого криволинейного интеграла, предложенного преподавателем. Для этого может быть использован список таких заданий, предложенный в приложении 1. Желательно, чтобы интеграл в данном задании отличался по роду и виду интегральной функции от основного интеграла лабораторной работы. При выполнении этого задания можно пользоваться калькулятором или Mathcad’ом.

Примеры выполнения таких заданий представлен ниже.

Примеры выполнения задания ручного счета.

1. Вычислить вручную приближенное значение криволинейного интеграла , где АВ – отрезок прямой у = х от точки А(0, 0) до точки В(4, 3) при n = 4.

Так как, согласно определению, криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги кривой) есть предел интегральных сумм вида

S_n = Δl_i,

не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ на частичные дуги, ни от выбора точек R_i (ξ_i, η_i), то для приближенного вычисления заданного в условии задачи интеграла построим интегральную сумму следующим образом:

1) разобьем кривую АВ на четыре (n = 4) частичных дуги так, чтобы их проекции на ось Ох ( [х₀; х₁], [х₁; х₂], [х₂; х₃], [х₃; х₄] ) равнялись между собой. В нашем случае х₀ = 0, х₄ = 4;

2) абсциссы точек R_i(ξ_i,η_i) (i = 1, 2, 3, 4), а именно ξ_i будем выбирать (согласно выбранному алгоритму) в серединах отрезков [х_i–1; х_i], а их ординаты η_i – это ординаты точек кривой АВ, соответствующие абсциссам ξ_i ;

3) длину частичной дуги Δl_i заменим длиной хорды, соединяющей конечные точки данной дуги: Δl_i ≈ Δs_i = .

Разобьем отрезок [0; 4] (по х) на 4 равных частичных отрезка: [0; 1],

[1; 2], [2; 3], [3; 4]. При этом: х₀ = 0, х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3, х₄ = 4. Длина каждого из этих отрезков Δх = Δх_i = х_i – х_i–1 = 1 (i = 1, 2, 3, 4). Подсчитаем значения у в граничных точках данных отрезков:

у_i = х_i (i = 0, 1, 2, 3, 4): у₀ = 0, у₁ = , у₂ = , у₃ = , у₄ = .

Приращение у на каждом i –м частичном отрезке (i = 1, 2, 3, 4) Δу_i = у_i – у_i–1 :

Δу₁ = – 0 = ; Δу₂ = – = ; Δу₃ = – = ; Δу₄ = – = .

Срединные точки частичных интервалов ξ_i = x_i^*= (i = 1, 2, 3, 4) :

х₁^* = = , х₂^* = = , х₃^* = = , х₄^* = = .

Значения у в этих срединных точках η_i = у_i^* = x_i^* (i = 1, 2, 3, 4) :

у₁^* = ∙ = , у₂^* = ∙ = , у₃^* = ∙ = , у₄^* = ∙ = .

Полученные результаты сведем в таблицу

i	xi	yi = xi	Δхi =хi–хi–1	Δyi =yi – yi–1	xi* =	уi* = xi*	Δsi =	f(xi*, уi*) = xi* – уi*	f(xi*,уi*)Δsi

Таким образом, искомое приближенное значение криволинейного интеграла равно

I ≈ S₄ = f (х₁^*, y₁^*) ∙Δs₁ + f (х₂^*, y₂^*) ∙Δs₂ + f (х₃^*, y₃^*) ∙Δs₃ + f (х₄^*, y₄^*) ∙Δs₄ =

= ∙ + ∙ + ∙ + ∙ = = .

Точное значение интеграла

= = = = .

2. Вычислить вручную приближенное значение криволинейного интеграла , где L – дуга кривой x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π, при n = 4.

Разобьем кривую L на четыре (n = 4) частичных дуги Δl_i (i = 1, 2, 3, 4) так, чтобы длины частичных интервалов [t₀; t₁], [t₁; t₂], [t₂; t₃], [t₃; t₄] ) равнялись между собой.

Построим таблицу, содержащей следующие графы:

1. i – номер частичного интервала, на которые разбивается отрезок [0, 2π] (i = 1,

2, 3, 4);

2. t_i – граничные точки частичных интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4). При этом: t₀ = 0,

t₄ = 2π (отрезок [0, 2π] разбивается на 4 отрезка одинаковой длины);

3. x_i = t_i cos t_i – значения функции x = t cos t в граничных точках частичных

интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4);

4. у_i = t_i sin t_i – значения функции y = t sin t в граничных точках частичных

интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4);

5. z_i = t_i – значения функции z = t в граничных точках частичных интервалов

(i = 0, 1, 2, 3, 4);

6. Δt_i = t_i – t_{i – 1}– приращение параметра t на i – ом частичном интервале

(i = 1, 2, 3, 4). В соответствии с выбранным алгоритмом Δt_i = = ;

7. Δx_i = x_i – x_{i – 1}– приращение функции х на i – ом частичном интервале;

8. Δу_i = у_i – у_{i – 1}– приращение функции у на i – ом частичном интервале;

9. Δz_i = z_i – z_{i – 1}– приращение функции z на i – ом частичном интервале;

10. Δs_i = – длина хорды, соединяющей конечные точки

частичной дуги Δl_i ;

11. t_i^*= (i = 1, 2, 3, 4) – срединные точки частичных интервалов ;

12. x_i^*= t_i^* cos t_i^* – значения функции x = t cos t в срединных точках частичных

интервалов (i = 1, 2, 3, 4);

13. y_i^*= t_i^* sin t_i^* – значения функции y = t sin t в срединных точках частичных

интервалов (i = 1, 2, 3, 4);

14. z_i^*= t_i^* – значения функции z = t в срединных точках частичных

интервалов (i = 1, 2, 3, 4);

15. f_i^*= f(x_i^*, y_i^*, z_i^*) = 2z_i – – значения подынтегральной функции в точках

(x_i, у_i, z_i).

i

ti

xi

yi

zi

Δti

Δxi

Δyi

Δzi

Δsi

ti*

xi*

yi*

zi*

fi*

π

π

–π

π

–π

–

π

–

–

π

–

π

–

–

2π

2π

2π

2π

π

–

Таким образом, искомое приближенное значение криволинейного интеграла

I ≈ S₄ = f(x₁^*, y₁^*, z₁^*) ∙Δs₁ + f(x₂^*, y₂^*, z₂^*) ∙Δs₂ + f(x₃^*, y₃^*, z₃^*) ∙Δs₃ + f(x₄^*, y₄^*, z₄^*) ∙Δs₄ =

= ∙ + ∙ + ∙ + ∙ = ( + 3 + 5 + 7 ) ≈ 77,926.

Точное значение интеграла || dl = dt = dt = dt || =

= = = =

= = ( – 1 ) ≈ 88,103.

3. Вычислить вручную приближенное значение

криволинейного интеграла , где

L – лепесток лемнискаты ρ = 3 , расположенный

в первом координатном углу, при n = 4.

Кривая задана уравнением в полярных координатах, причем угол φ изменяется от 0 до . При переходе к полярным координатам x = ρ cos φ, y = ρ sin φ. Следовательно, подынтегральная функция будет иметь вид f (ρ, φ) = ρ cos φ + ρ sin φ

Разобьем кривую L на четыре (n = 4) частичных дуги Δl_i (i = 1, 2, 3, 4) так, чтобы длины частичных угловых интервалов [φ₀; φ₁], [φ₁; φ₂], [φ₂; φ₃], [φ₃; φ₄] ) равнялись между собой.

Построим таблицу, содержащей следующие графы:

1. i – номер частичного углового интервала, на которые разбивается отрезок

[0, ] (i = 1, 2, 3, 4);

2. φ_i – граничные точки частичных угловых интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4). При этом:

φ₀ = 0, φ₄ = (отрезок [0, ] разбивается на 4 отрезка одинаковой

угловой длины);

3. ρ_i = 3 – значения функции ρ = 3 в граничных точках частичных

интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4);

4. Δφ_i = φ_i – φ_{i – 1}– приращение угла φ на i – ом частичном угловом интервале

(i = 1, 2, 3, 4). В соответствии с выбранным алгоритмом Δφ_i = = ;

5. Δρ_i = ρ_i – ρ_{i – 1}= 3( – )– приращение функции ρ на i – ом частичном интервале (i = 1, 2, 3, 4);

6. φ_i^*= (i = 1, 2, 3, 4) – срединные точки частичных угловых интервалов ;

7. ρ_i^*= 3 – значения функции ρ = 3 в срединных точках

частичных угловых интервалов (i = 1, 2, 3, 4);

8. Δs_i = ~ длина хорды, соединяющей конечные точки

частичной дуги Δl_i (i = 1, 2, 3, 4);

9. f_i^*= f(ρ_i^*, φ_i^*) = ρ_i^*cos φ_i^* + ρ_i^*sin φ_i^*– значения подынтегральной функции в точках

(ρ_i^*, φ_i^*);

10. f_i^*∙ Δs_i

i	φi	ρi	Δφi	Δρi	φi*	ρi*	Δsi	fi*	fi*∙ Δsi
		2,523		2,523		1,856	2,626	2,182	5,73
				0,477		2,884	1,229		4,916
		2,523		–0,477		2,884	1,229		4.916
				–2,523		1,856	2,626	2,182	5,73

Таким образом, искомое приближенное значение криволинейного интеграла равно

I ≈ S₄ = f(ρ₁^*, φ₁^*) ∙Δs₁ + f(ρ₂^*, φ₂^*) ∙Δs₂ + f(ρ₃^*, φ₃^*) ∙Δs₃ + f(ρ₄^*, φ₄^*) ∙Δs₄ =

= 5,73 + 4,916 + 4,916 + 5,73 = 21,292.

Точное значение интеграла: = = = || ρ¢ = , = = = || =

= = 9 = 9(sinφ – cosφ) = 18.

4. Вычислить вручную приближенное значение криволинейного интеграла , где L – отрезок параболы у = х² от точки А(0, 0) до точки В(1, 1) при n = 4.

Замечание. При вычислении криволинейного интеграла второго рода составляются таблицы, аналогичные таблицам, составляемым при вычислении криволинейного интеграла первого рода, за исключением того, что не вычисляются значения Δs_i ,а вместо значений f(x_i^*, у_i^*) вычисляются значения P(x_i^*, у_i^*) и Q(x_i^*, у_i^*). После составления таблицы приближенное вычисление интеграла производится по формуле

S₄ = Δx_i + Q(х_i^*, y_i^*)).

i	xi	yi =(xi)2	Δхi =хi–хi–1	Δyi =yi – yi–1	xi* =	уi* =(xi*)2	P(xi*, уi*) = xi* ∙ уi*	Q(xi*, уi*) = 1	P(xi*,уi*)Δxi + Q(xi*,уi*)Δyi
									+
									+
									+
									+

Таким образом, искомое приближенное значение криволинейного интеграла равно

I ≈ S₄ = P(х₁^*, y₁^*) ∙Δx₁ + Q(х₁^*, y₁^*) ∙Δy₁ + P(х₂^*, y₂^*) ∙Δx₂ + Q(х₂^*, y₂^*) ∙Δy₂ +

+ P(х₃^*, y₃^*) ∙Δx₃ + Q(х₃^*, y₃^*) ∙Δy₃ + P(х₄^*, y₄^*) ∙Δx₄ + Q(х₄^*, y₄^*) ∙Δy₄ =

= + + + + + + + = + = 1,242.

Точное значение интеграла

= = = + 1 = = 1,25.

5. Вычислить вручную приближенное значение работы силы = yx + (y + x) при перемещении материальной точки по прямой у = х из точки А(0, 0) в точку В(1, 1), при n = 4.

С точки зрения физики криволинейный интеграл второго рода вдоль некоторой кривой равняется работе переменной силы при перемещении материальной точки вдоль этой кривой. Т.о., в нашем случае для вычисления искомого значения работы необходимо вычислить