Структурная и приведенная формы модели.
Структурная и приведенная формы модели.
Система одновременных уравнений (т.е. структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.
Эндогенные переменные –это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Они обозначаются через y
Экзогенные переменные –это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них. Они обозначаются через x.
Простейшая структурная форма модели имеет вид:
где y1,y2 - эндогенные переменные, x1,x2 - экзогенные.
Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других - как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных можно рассматривать значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные). Например, потребление текущего года yt может зависеть также и от уровня потребления в предыдущем году yt-1.
Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.
Коэффициенты 
при эндогенных и 
- при экзогенных переменных называются структурными коэффициентами модели.Все переменные в модели могут быть выражены в отклонениях 
и 
от среднего уровня, и тогда свободный член в каждом уравнении отсутствует.
Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма преобразуется в приведенную.
Приведенная форма моделипредставляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:
(3)
коэффициенты приведенной формы модели.
По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, Применяя МНК, можно оценить 
, а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.
Приведенная форма позволяет выразить значения эндогенных переменных через экзогенные, однако аналитически уступает структурной форме модели, т.к. в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.
Проблема идентификации
При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация –это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.
Структурная модель (2) в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из n эндогенных и m экзогенных переменных, содержит n(n-1+m) параметров. Приведенная модель (3) в полном виде содержит nm параметров. Таким образом, в полном виде структурная модель содержит большее число параметров, чем приведенная форма модели. Поэтому n(n-1+m) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены через nm параметров приведенной формы модели.
Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов.
С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:
- идентифицируемые;
- неидентифицируемые;
- сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема,если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.
Модель неидентифицируема,если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели. Модель (2) в полном виде всегда неидентифицируема.
Модель сверхидентифицируема,если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе приведенных коэффициентов можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. Сверхидентифицируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.
Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо.Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.
Обозначим Н – число эндогенных переменных в i- ом уравнении системы, D – число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение. Тогда условие идентифицируемости уравнения может быть записано в виде следующего счетного правила:
D+1 = Н – уравнение идентифицируемо;
D+1 < Н – уравнение неидентифицируемо;
D+1 > Н – уравнение сверхидентифицируемо.
Это счетное правило отражает необходимое, но не достаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.
Пример. Рассмотрим следующую макроэкономическую модель:
где M – доля импорта в ВВП;
N – общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин;
S – число удовлетворенных прошений;
E – фиктивная переменная, означающая, является ли курс доллара искусственно завышенным или нет;
Y – реальный ВВП;
X – реальный объём чистого экспорта;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Проверим данную модель на идентификацию и определим, каким методом могут быть рассчитаны её коэффициенты (в случае, если модель сверх – или точно идентифицируема).
Сначала рассмотрим общие характеристики структурной формы. Здесь три эндогенные переменные – Mt, Nt и St, они стоят в левых частях уравнений. Кроме того, в правых частях находятся четыре предопределенные переменные – одна лаговая (Mt-1) и три экзогенные – Et-1, Yt и Xt. Теперь проверим каждое уравнение.
Уравнение I. В этом уравнении присутствуют три эндогенные переменные (Mt, Nt и St), но отсутствуют две предопределенные переменные - Yt и Xt. Поэтому Н=3, D=2, и необходимое условие идентификации выполняется, поскольку D+1=H. Это означает, что первое уравнение точно идентифицируемо.
Уравнение II. В этом уравнении присутствуют три эндогенные переменные (Mt, Nt и St), но отсутствуют три экзогенные - Еt-1, Mt-1 и Xt. Поэтому Н=3, D=3, D+1>H и второе уравнение по необходимому условию является сверхидентифицируемым.
Уравнение III. В этом уравнении, как и в других уравнениях, присутствуют все три эндогенные переменные, но отсутствуют три экзогенные - Еt-1, Mt-1 и Yt . Поэтому Н=3, D=3, D+1>H, и третье уравнение системы является сверхидентифицируемым.
Проверим каждое уравнение на выполнение достаточного условия идентификации. Для этого сначала запишем расширенную матрицу системы в виде следующей таблицы:
| Уравнение | Mt | Nt | St | Et-1 | Mt-1 | Yt | Xt |
| I | -1 | b12 | b13 | b14 | b15 | ||
| II | b21 | -1 | b23 | b26 | |||
| III | b31 | b32 | -1 | b37 |
Как видим, в эту матрицу включены коэффициенты при всех переменных и не включены свободные члены, поскольку они могут быть исключены из системы, если задавать все переменные в отклонениях от среднего значения. Кроме того, здесь все переменные перенесены в правые части уравнений.
Достаточное условие идентификации для соответствующего уравнения будет выполнено, если ранг подматрицы, построенной только из коэффициентов при переменных, отсутствующих в этом уравнении, равен количеству эндогенных переменных в системе минус единица.
Рассмотрим подробно этот процесс для первого уравнения системы. Первому уравнению соответствует первая строка расширенной матрицы, поэтому первую строку не следует включать в подматрицу. Из остальной части расширенной матрицы оставим только столбцы, которые имеют нули в первой строке. Получаем подматрицу:
,
определитель которой не равен нулю, поскольку 
. Таким образом, ранг подматрицы равен двум, т.е. числу эндогенных переменных в системе минус единица. Достаточное условие идентификации для первого уравнения выполнено.
Аналогично рассмотрим другие уравнения. Подматрица для второго уравнения имеет вид:
.
Её ранг также равен двум, поскольку определитель, составленный, например, из первого и третьего столбцов, очевидно, не равен нулю.
Подматрица для третьего уравнения имеет вид:
.
Она также имеет ранг, равный двум.
Таким образом, достаточное условие идентификации выполнено для каждого уравнения системы. Поскольку среди уравнений системы нет неидентифицируемых, а второе и третье уравнения являются сверхидентифицированными, то и модель в целом сверхидентифицирована. Для определения параметров первого уравнения должен быть применен косвенный МНК (поскольку оно точно идентифицировано), а для других уравнений – двухшаговый МНК.
Приведенная форма модели имеет вид:
Здесь 
- случайные члены. Как обычно, в правой части приведенной формы стоят только предопределенные переменные. Для определения параметров ПФМ применяется обычный МНК.
Таблица 1.
| № квартала | Потребление электроэнергии yt | Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 6,0 | |||||
| 4,4 | |||||
| 5,0 | 24,4 | 6,10 | 6,25 | -1,250 | |
| 9,0 | 25,6 | 6,40 | 6,45 | 2,550 | |
| 7,2 | 26,0 | 6,50 | 6,625 | 0,575 | |
| 4,8 | 27,0 | 6,75 | 6,875 | -2,075 | |
| 6,0 | 28,0 | 7,00 | 7,1 | -1,100 | |
| 10,0 | 28,8 | 7,20 | 7,3 | 2,700 | |
| 8,0 | 29,6 | 7,40 | 7,45 | 0,550 | |
| 5,6 | 30,0 | 7,50 | 7,625 | -2,025 | |
| 6,4 | 31,0 | 7,75 | 7,875 | -1,475 | |
| 11,0 | 32,0 | 8,00 | 8,125 | 2,875 | |
| 9,0 | 33,0 | 8,25 | 8,325 | 0,675 | |
| 6,6 | 33,6 | 8,40 | 8,375 | -1,775 | |
| 7,0 | 33,4 | 8,35 | |||
| 10,8 |
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда (колонка 2 таблицы 1) и центрированными скользящими средними (колонка 5). Эти значения помещаем в колонку 6 таблицы 1 и используем для расчета значений сезонной компоненты (таблица 2), которые представляют собой средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период (в данном случае – за год) взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем точкам (здесь – по четырем кварталам) должна быть равна нулю.
Таблица 2.
| Показатели | Год | № квартала, i | |||
| I | II | III | IV | ||
| - | - | -1,250 | 2,550 | ||
| 0,575 | -2,075 | -1,100 | 2,700 | ||
| 0,550 | -2,025 | -1,475 | 2,875 | ||
| 0,675 | -1,775 | - | - | ||
| Итого за i – й квартал (за все годы) | 1,800 | -5,875 | -3,825 | 8,125 | |
Средняя оценка сезонной компоненты для i – го квартала,  | 0,600 | -1,958 | -1,275 | 2,708 | |
Скорректированная сезонная компонента,  | 0,581 | -1,977 | -1,294 | 2,690 |
Для данной модели сумма средних оценок сезонной компоненты равна:
0,6-1,958-1,275+2,708=0,075.
Эта сумма оказалась не равной нулю, поэтому каждую оценку уменьшим на величину поправки, равной одной четверти полученного значения:
Δ=0,075/4=0,01875.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты (они записаны в последней строке таблицы 2):
(8)
Эти значения при суммировании уже равны нулю:
0,581-1,977-1,294+2,69=0.
Шаг 3. Исключаем влияние сезонной компоненты, вычитая её значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получаем величины:
T+E=Y-S (9)
Эти значения рассчитываются в каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту (колонка 4 следующей таблицы):
Таблица 3.
| t |  |  |  | T | T+S |  | E2 |
| 6,0 | 0,581 | 5,419 | 5,902 | 6,483 | -0,483 | 0,2332 | |
| 4,4 | -1,977 | 6,377 | 6,088 | 4,111 | 0,289 | 0,0833 | |
| 5,0 | -1,294 | 6,294 | 6,275 | 4,981 | 0,019 | 0,0004 | |
| 9,0 | 2,69 | 6,310 | 6,461 | 9,151 | -0,151 | 0,0228 | |
| 7,2 | 0,581 | 6,619 | 6,648 | 7,229 | -0,029 | 0,0008 | |
| 4,8 | -1,977 | 6,777 | 6,834 | 4,857 | -0,057 | 0,0032 | |
| 6,0 | -1,294 | 7,294 | 7,020 | 5,726 | 0,274 | 0,0749 | |
| 10,0 | 2,69 | 7,310 | 7,207 | 9,897 | 0,103 | 0,0107 | |
| 8,0 | 0,581 | 7,419 | 7,393 | 7,974 | 0,026 | 0,0007 | |
| 5,6 | -1,977 | 7,577 | 7,580 | 5,603 | -0,003 | 0,0000 | |
| 6,4 | -1,294 | 7,694 | 7,766 | 6,472 | -0,072 | 0,0052 | |
| 11,0 | 2,69 | 8,310 | 7,952 | 10,642 | 0,358 | 0,1278 | |
| 9,0 | 0,581 | 8,419 | 8,139 | 8,720 | 0,280 | 0,0785 | |
| 6,6 | -1,977 | 8,577 | 8,325 | 6,348 | 0,252 | 0,0634 | |
| 7,0 | -1,294 | 8,294 | 8,512 | 7,218 | -0,218 | 0,0474 | |
| 10,8 | 2,69 | 8,110 | 8,698 | 11,388 | -0,588 | 0,3458 |
Шаг 4. Определим трендовую компоненту данной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда:
Подставляя в это уравнение значения 
, найдем уровни Т для каждого момента времени (колонка 5 таблицы 3).
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов, т.е. к значениям в колонке 5 таблицы 3 прибавим значения в колонке 3. Результаты операции представлены в колонке 6 таблицы 3.
Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производим по формуле:
(10)
Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в колонке 7 таблицы 3.
По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59, эта величина составляет чуть более 1,5%. Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.
Пример. Построение мультипликативной модели временного ряда. Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за последние четыре года:
Таблица 4.
| Квартал Год | I | II | II | IV |
График временного ряда свидетельствует о наличии сезонных колебаний периодичностью 4 квартала и общей убывающей тенденции уровней ряда:
 |
Прибыль компании в весенне – летний период выше, чем в осенне – зимний период. Поскольку амплитуда сезонных колебаний уменьшается, можно предположить существование мультипликативной модели. Определим её компоненты.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в таблице:
Таблица 5.
| № квартала | Прибыль компании | Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 81,500 | 81,250 | 1,108 | |||
| 81,000 | 80,000 | 0,800 | |||
| 79,000 | 77,750 | 0,900 | |||
| 76,500 | 75,750 | 1,215 | |||
| 75,000 | 74,000 | 1,081 | |||
| 73,000 | 71,500 | 0,811 | |||
| 70,000 | 68,500 | 0,905 | |||
| 67,000 | 65,750 | 1,217 | |||
| 64,500 | 63,250 | 1,075 | |||
| 62,000 | 59,500 | 0,807 | |||
| 57,000 | 54,750 | 0,950 | |||
| 52,500 | 50,250 | 1,194 | |||
| 48,000 | |||||
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (колонка 6 таблицы). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты Si. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна равняться числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно четырем кварталам. Результаты расчетов сведем в таблицу:
Таблица 6.
| Показатели | Год | № квартала, i | |||
| I | II | III | IV | ||
| - | - | 1,108 | 0,800 | ||
| 0,900 | 1,215 | 1,081 | 0,817 | ||
| 0,905 | 1,217 | 1,075 | 0,807 | ||
| 0,950 | 1,194 | - | - | ||
| Итого за i – й квартал (за все годы) | 2,755 | 3,626 | 3,264 | 2,424 | |
| Средняя оценка сезонной компоненты для i – го квартала, | 0,918 | 1,209 | 1,088 | 0,808 | |
| Скорректированная сезонная компонента, | 0,913 | 1,202 | 1,082 | 0,803 |
Здесь сумма средних оценок сезонных компонент по всем четырем кварталам
не равна четырем. Чтобы эта сумма равнялась четырем, умножим каждое слагаемое на поправочный коэффициент
т.е.
(11)
Значения скорректированных сезонных компонент записаны в последней строке таблицы 6. Теперь их сумма равна четырем. Занесем эти значения в новую таблицу (колонка 3 таблицы 7):
Таблица 7.
| t | yt | Si |  | T | T·S |  |  |  |
| 0,913 | 78,86 | 87,80 | 80,16 | 0,898 | -8,165 | 66,66 | ||
| 1,202 | 83,19 | 85,03 | 102,20 | 0,978 | -2,204 | 4,86 | ||
| 1,082 | 83,18 | 82,25 | 89,00 | 1,011 | 1,002 | 1,00 | ||
| 0,803 | 79,70 | 79,48 | 63,82 | 1,003 | 0,179 | 0,03 | ||
| 0,913 | 76,67 | 76,70 | 70,03 | 1,000 | -0,030 | 0,00 | ||
| 1,202 | 76,54 | 73,93 | 88,86 | 1,035 | 3,139 | 9,85 | ||
| 1,082 | 73,94 | 71,15 | 76,99 | 1,039 | 3,013 | 9,08 | ||
| 0,803 | 72,23 | 68,38 | 54,91 | 1,056 | 3,093 | 9,57 | ||
| 0,913 | 67,91 | 65,60 | 59,90 | 1,035 | 2,105 | 4,43 | ||
| 1,202 | 66,56 | 62,83 | 75,52 | 1,059 | 4,482 | 20,08 | ||
| 1,082 | 62,85 | 60,05 | 64,98 | 1,047 | 3,024 | 9,14 | ||
| 0,803 | 59,78 | 57,28 | 45,99 | 1,044 | 2,007 | 4,03 | ||
| 0,913 | 56,96 | 54,50 | 49,76 | 1,045 | 2,240 | 5,02 | ||
| 1,202 | 49,92 | 51,73 | 62,18 | 0,965 | -2,176 | 4,73 | ||
| 1,082 | 46,21 | 48,95 | 52,97 | 0,944 | -2,966 | 8,79 | ||
| 0,803 | 37,36 | 46,18 | 37,08 | 0,809 | -7,080 | 50,12 |
Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым мы получим величины
, (12)
которые содержат только тенденцию и случайную компоненту (колонка 4).
Шаг 4. Определим трендовую компоненту в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т+Е). Уравнение тренда имеет вид:
Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни Т для каждого момента времени (колонка 5 таблицы).
Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (колонка 6 таблицы).
Шаг 6. Расчет ошибок в мультипликативной модели произведем по формуле:
. (13)
Численные значения ошибок приведены в колонке 7 таблицы. Для того, чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели временного ряда, можно по аналогии с аддитивной моделью использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как:
(14)
В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 207,4. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней этого ряда от среднего значения равна 5023. Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда составляет 95,9%.
Прогнозирование по аддитивной или мультипликативной модели временного ряда сводится к расчету будущего значения временного ряда по уравнению модели в виде
для аддитивной или
для мультипликативной модели.
Структурная и приведенная формы модели.
Система одновременных уравнений (т.е. структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.
Эндогенные переменные –это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Они обозначаются через y
Экзогенные переменные –это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них. Они обозначаются через x.
Простейшая структурная форма модели имеет вид:
где y1,y2 - эндогенные переменные, x1,x2 - экзогенные.
Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других - как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных можно рассматривать значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные). Например, потребление текущего года yt может зависеть также и от уровня потребления в предыдущем году yt-1.
Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.
Коэффициенты при эндогенных и - при экзогенных переменных называются структурными коэффициентами модели.Все переменные в модели могут быть выражены в отклонениях и от среднего уровня, и тогда свободный член в каждом уравнении отсутствует.
Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма преобразуется в приведенную.
Приведенная форма моделипредставляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:
(3)
коэффициенты приведенной формы модели.
По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.
Приведенная форма позволяет выразить значения эндогенных переменных через экзогенные, однако аналитически уступает структурной форме модели, т.к. в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.
Проблема идентификации
При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация –это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.
Структурная модель (2) в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из n эндогенных и m экзогенных переменных, содержит n(n-1+m) параметров. Приведенная модель (3) в полном виде содержит nm параметров. Таким образом, в полном виде структурная модель содержит большее число параметров, чем приведенная форма модели. Поэтому n(n-1+m) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены через nm параметров приведенной формы модели.
Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов.
С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:
- идентифицируемые;
- неидентифицируемые;
- сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема,если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.
Модель неидентифицируема,если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели. Модель (2) в полном виде всегда неидентифицируема.
Модель сверхидентифицируема,если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе приведенных коэффициентов можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. Сверхидентифицируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.
Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо.Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.
Обозначим Н – число эндогенных переменных в i- ом уравнении системы, D – число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение. Тогда условие идентифицируемости уравнения может быть записано в виде следующего счетного правила:
D+1 = Н – уравнение идентифицируемо;
D+1 < Н – уравнение неидентифицируемо;
D+1 > Н – уравнение сверхидентифицируемо.
Это счетное правило отражает необходимое, но не достаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.
Пример. Рассмотрим следующую макроэкономическую модель:
где M – доля импорта в ВВП;
N – общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин;
S – число удовлетворенных прошений;
E – фиктивная переменная, означающая, является ли курс доллара искусственно завышенным или нет;
Y – реальный ВВП;
X – реальный объём чистого экспорта;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Проверим данную модель на идентификацию и определим, каким методом могут быть рассчитаны её коэффициенты (в случае, если модель сверх – или точно идентифицируема).
Сначала рассмотрим общие характеристики структурной формы. Здесь три эндогенные переменные – Mt, Nt и St, они стоят в левых частях уравнений. Кроме того, в правых частях находятся четыре предопределенные переменные – одна лаговая (Mt-1) и три экзогенные – Et-1, Yt и Xt. Теперь проверим каждое уравнение.
Уравнение I. В этом уравнении присутствуют три эндогенные переменные (Mt, Nt и St), но отсутствуют две предопределенные переменные - Yt и Xt. Поэтому Н=3, D=2, и необходимое условие идентификации выполняется, поскольку D+1=H. Это означает, что первое уравнение точно идентифицируемо.
Уравнение II. В этом уравнении присутствуют три эндогенные переменные (Mt, Nt и St), но отсутствуют три экзогенные - Еt-1, Mt-1 и Xt. Поэтому Н=3, D=3, D+1>H и второе уравнение по необходимому условию является сверхидентифицируемым.
Уравнение III. В этом уравнении, как и в других уравнениях, присутствуют все три эндогенные переменные, но отсутствуют три экзогенные - Еt-1, Mt-1 и Yt . Поэтому Н=3, D=3, D+1>H, и третье уравнение системы является сверхидентифицируемым.
Проверим каждое уравнение на выполнение достаточного условия идентификации. Для этого сначала запишем расширенную матрицу системы в виде следующей таблицы:
| Уравнение | Mt | Nt | St | Et-1 | Mt-1 | Yt | Xt |
| I | -1 | b12 | b13 | b14 | b15 | ||
| II | b21 | -1 | b23 | b26 | |||
| III | b31 | b32 Наши рекомендации |