Тема: Вычисление определенных интегралов
Цель:Формирование навыков вычисления определенного интеграла при помощи формулы Ньютона – Лейбница
На выполнение работы отводится 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Функция, интегрируемая на промежутке
, если при любых разбиениях
промежутка
, таких, что
при произвольном выборе точек
(где
), сумма
при
стремится к пределу
.
Предел называют определенным интегралом от функции
на промежутке
и обозначают
, то есть
. (15.1)
Число называется нижним пределом интеграла,
- верхним. Промежуток
называется промежутком интегрирования,
- переменной интегрирования.
Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл
, служит формула Ньютона – Лейбница:
. (15.2). То есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Примеры
Вычислить следующие определенные интегралы:
1) ; 2)
; 3)
.
Решение: 1) ; 2)
;
3)
Задания для практической работы
Вычислите определенные интегралы:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
6) 7)
; 8)
; 9)
;
10) ; 11)
; 12)
; 13)
.
Контрольные вопросы:
1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?
2. Дайте определение определенного интеграла.
3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
4. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?
5. Сформулируйте теорему о среднем.
6. Перечислите основные методы интегрирования для определенного интеграла.
7. Запишите формулы, которые соответствуют вышеперечисленным методам интегрирования.
Рекомендуемая литература: 11.1[с. 271-282], 1.2[с. 205-212], 1.3[с. 374-396],2.2[с. 247-250].
Практическая работа №16
Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов
Цель: Формирование навыков вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических фигур и физических величин.
Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой
, осью
и двумя прямыми
и
, где
,
(рис.2).
Рисунок 2 - Трапеция, ограниченная кривой , осью
и двумя прямыми
и
, где
.
Так как дифференциал переменной площади есть площадь прямоугольника с основанием
и высотой
, то есть
, то, интегрируя это равенство в пределах от
до
, получим
.
основанием
и высотой
, то есть
, то, интегрируя это равенство в пределах от
до
, получим
.
Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что
,
(рис.3), то дифференциал переменной площади
равен
, откуда
.
![]() | |||||
|
|
Рисунок 5 - Трапеция, ограниченная кривой , осью
и прямыми
и
, расположена по обе стороны от оси
.
В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью
и прямыми
и
, лежит под осью
(рис.4), площадь находится по формуле
.
Если фигура, ограниченная кривой , осью
и прямыми
и
, расположена по обе стороны от оси
(рис. 5), то
.
Рисунок 6 - Трапеция, двумя пересекающимися кривыми
и
, прямыми
и
.
Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми
и
, и прямыми
и
, где
и
(рис. 6) Тогда ее площадь находится по формуле
.
Примеры
Задание: Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями ,
,
и
(рис. 7).
Рисунок 7 - Фигура, ограниченная указанными линиями
,
,
и
.
Решение: квадратичная функция;
; график – парабола, ветви направлены вверх.
Найдемкоординаты вершины параболы:
, отсюда следует, что
. Таким образом, вершина параболы имеет координаты:
. Найдем площадь полученной фигуры:
.
Ответ:
Задания для практической работы
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми ,
,
и осью абсцисс.
2. Найдите площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми и
.
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми
,
.
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми
,
и осью абсцисс.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой
.
6. Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми ,
,
и
.
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и
.
8. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и
.
9. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и
.
10. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и
.
Контрольные вопросы:
1. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся над осью ?
2. По какой формуле вычисляется площадь фигуры прилегающей к оси ?
3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся под осью ?
4. По какой формуле вычисляется площадь фигуры расположенной по обе стороны оси ?
5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченной двумя пересекающимися кривыми?
Рекомендуемая литература: 1.1[с. 271-281], 1.2[с. 205-212], 1.3[с.395-395],2.2[с. 247-250].
Практическая работа №17
Тема: Нахождение области определения и вычисление частных значений для функции нескольких переменных
Цель: Формирование навыков нахождения области определения и вычисления частных значений для функции нескольких переменных
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Уравнение
(неявная форма) (17.1)
или
(явная форма) (17.2)
определяет переменную как функцию
независимых переменных
. Областью определения функции
переменных является множество точек
-мерного пространства, в которых функция принимает определенное действительное значение.
При уравнение (17.1) определяет функцию трех переменных
или
, (17.3)
Областью определения, которой является множество точек трехмерного пространства
.
При уравнение (17.1) определяет функцию двух переменных
или
. (17.4)
Частным значением функции
называется такое ее значение, которое соответствует системе значений
. (17.5)
Примеры
Задание 1: Найти области определения функций:
1) ; 2)
.
Решение: 1) Область определения функции состоит из всех точек плоскости, для которых
, то есть
. Таким образом, искомая область есть круг с центром в начале координат и радиусом 1. она является замкнутой, так как включает свою границу – окружность
.
2) Так как логарифм определен только при положительных значениях аргумента, то , откуда
. Следовательно, областью определения данной функции служит внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 3. эта область открытая, поскольку она не включает свою границу – окружность
.
Задание 2: Найти частное значение функции в точке
.
Решение: Подставляя в выражение функции значения и
, получим
.
Задания для практической работы
1. На плоскости постройте область изменения переменных
и
, заданные нижеследующими неравенствами. Укажите тип области.
1) ; 2)
;
3) ; 4)
.
2. Найдите области определения функций и укажите, что будет являться областью определения:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
; 6)
.
3. Вычислите частные значения функций:
1) при
и
;
2) в точке
;
3) при
и
.
4. Дана функция . Вычислите
,
,
,
,
,
,
.
Контрольные вопросы:
1. Что называется функцией нескольких переменных?
2. Что называется областью определения функции переменных?
3. Что называется частным значением функции двух переменных?
4. Что называется границей области?
5. Какая область называется замкнутой, а какая открытой?
Рекомендуемая литература: 1.2[с. 438-439], 2.1[с. 192-204], 2.2[с. 151-166].
Практическая работа №18