Тема: Вычисление производных функций по определению производной
Цель: Формирование навыков вычисления производных функций по определению производной
Время выполнения: 2 часа.
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Производной функции в точке
(производной первого порядка) называется предел отношения приращения функции
к приращению аргумента
, когда последнее стремится к нулю:
(10.1)
Если этот предел конечен, то функция называется дифференцируемой в точке
; в противном случае (то есть если он не существует или равен бесконечности) – не дифференцируемой. В том случае, когда предел есть бесконечность, говорят, что функция
имеет в точке бесконечную производную.
Дифференциалом функции
(дифференциалом первого порядка) называется главная часть ее приращения, пропорциональная приращению
независимой переменной
.
Дифференциал независимой переменной
равен ее приращению
:
. (10.2)
Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной:
. (10.3)
Соотношение (10.3) остается в силе и тогда, когда есть функция другого аргумента – в этом заключается инвариантность формы первого дифференциала.
Из соотношения (10.3) получаем , то есть производная первого порядка функции
равна отношению первого дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.
Пример
Задание: Пользуясь определением производной, найти производную и дифференциал функции . Вычислить
.
Решение: Найдем приращение функции , соответствующее данному приращению
аргумента
:
.
Тогда и
.
По формуле (10.1) находим дифференциал функции:
.
Подставляя в выражение для значение
, получим
.
Задания для практической работы
1. Найдите производные и дифференциалы от указанных функций, пользуясь непосредственно определением производной:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
; 6)
.
2. Дана функция . Найдите
.
3. Дана функция . Найдите
.
4. Дана функция . Найдите
,
.
5. Дана функция . Найдите
,
.
6. Дана функция . Покажите, что
.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение производной первого порядка.
2. Какая функция называется дифференцируемой? Какая функция называется не дифференцируемой?
3. Что называется дифференциалом первого порядка?
4. Сформулируйте определение дифференциала функции.
5. В чем заключается инвариантность формы первого дифференциала.
6. Сформулируйте общее правило нахождения производной функции.
Рекомендуемая литература: 1.1[с. 211-236], 1.2[с.180-184],1.3[с.242-243].
Практическая работа №11
Тема: Вычисление производных сложных функций
Цель: Формирование навыков вычисления производных сложных функций
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Пусть и
- дифференцируемые функции. Тогда сложная функция
есть также дифференцируемая функция, причем
, или
(11.1)
Это правило распространяется на цепочку из любого количества дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.
Пример
Задание: Найдите производные функций:1) ; 2)
.
Решение: 1) Предположим, что , где
. Тогда по формуле (1) найдем
.
2) Предполагая, что ,
,
, получим
.
Задания для практической работы
Вычислите производные заданных функций, пользуясь основы формулами и правилами:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
;
5) ; 6)
; 7)
; 8)
;
9) ; 10)
.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение производной функции.
2. Перечислите правила нахождения производной функции.
3. Какие функции называются дифференцируемыми?
4. Какая функция называется сложной?
5. Как найти производную сложной функции?
Рекомендуемая литература: 1.1[с. 250-254], 1.2[с.180-184], 1.3[с.266-270].
Практическая работа №12