Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

3.1 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Положение плоскости в пространстве вполне определяется точкой М₀(x₀; y₀; z₀) и вектором = (А; В; С) (А² + В² + С² ≠ 0) перпендикулярным этой плоскости. Ненулевой вектор = (А, В, С) перпендикулярный плоскости называется нормальным вектором плоскости.

Возьмем на плоскости произвольную точку М(x; y; z) и составим вектор = (х – х₀; у – у₀; z – z₀) (рисунок 11).

При любом положении точки М на плоскости векторы и взаимно перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть ∙ = 0. Это уравнение является векторным уравнением искомой плоскости. Записав его в координатной форме, получим равенство

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0, (3.1)

которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Рисунок 11 – Геометрическая иллюстрация к выводу уравнения (3.1)

3.2 Общее уравнение плоскости

Раскрыв в уравнении (3.1) скобки

Ах + Ву + Сz + (– Ах₀ – Ву₀ – Сz₀) = 0

и обозначив величину – Ах₀ – Ву₀ – Сz₀ через D, получим уравнение

Ах + Ву + Сz + D = 0, (3.2)

которое называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим частные случаи расположения плоскости.

1) Если D = 0, то уравнение (3.2) принимает вид Ах + Ву + Сz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка О(0; 0; 0). Следовательно, плоскость проходит через начало координат.

2) Если С = 0, то имеем уравнение Ах + Ву + D = 0. Нормальный вектор = (А, В, 0) перпендикулярен оси Оz. Следовательно, плоскость параллельна оси ОZ. Аналогично: если В = 0 – параллельна оси Оy, А = 0 – параллельна оси Ох.

3) Если С = D = 0, то плоскость проходит через О(0; 0; 0) и ее нормальный вектор перпендикулярен оси Оz. Значит, плоскость Ах + Ву + = 0 содержит ось ОZ. Аналогично: уравнениям Ах + Сz = 0 и Ву + Сz = 0 соответствуют плоскости, содержащие соответственно оси Оу и Ох.

4) Если А = В = 0, то уравнение (3.2) принимает вид Сz + D = 0, то есть z = – . Плоскость параллельна плоскости Оxy. Аналогично: уравнениям Ах + D = 0 и Ву + D = 0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Оyz и Оxz.

5) Если А = В = D = 0, то уравнение (3.2) примет вид Сz = 0, то есть z = 0. Это уравнение плоскости Оxy. Аналогично: х = 0 – уравнение плоскости Оyz; у = 0 – уравнение плоскости Оxz.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость общего положения (рисунок 12), то есть плоскость не проходит через начало координат, не параллельна ни одной из осей координат (А, В, С, D ≠ 0). Уравнение этой плоскости можно записать в виде

Ах + Ву + Сz + D = 0. (3.3)

Рисунок 12 – Геометрическая иллюстрация к выводу уравнения (3.4)

Так как точка М(а; 0; 0) лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.3) Аа + D = 0, откуда А = – .

Аналогично: координаты точек N(0; b; 0) и Р(0; 0; с) должны удовлетворять уравнению (3.3), значит, Вb + D = 0 и Сс + D = 0, откуда В = – , С = – .

Подставив найденные значения А, В, С в уравнение плоскости (3.3), получим

– х – у – z + D = 0.

Сократив это равенство на – D (D ≠ 0) и перенеся свободный член вправо, получим

+ + = 1. (3.4)

Уравнение (3.4) называется уравнением плоскости в отрезках; а, b, с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.