Вычисление коэффициентов линеаризации
С учетом того обстоятельства, что большинство нелинейных элементов в заданиях представляют собой кусочно-линейные функции входного сигнала, становится очевидно, что подынтегральные выражения в интегралах
при вычислении значений коэффициентов и
или
содержат произведение степенного полинома входного сигнала
и плотности его распределения
.
Неизвестная плотность распределения может быть с высокой точностью аппроксимирована гауссовской. Обоснование этого решения состоит в том, что инерциальная динамическая система в любом из заданий обладает эффектом нормализации закона распределения входного случайного воздействия, фактически, суммируя значения сигналов с разными запаздываниями (по причине инерциальности системы).
Построим соотношения для вычисления значений интегралов вида:
,
где:
и
– нижний и верхний пределы интегрирования;
– Гауссовская плотность распределения случайной величины
;
– целое неотрицательное число.
При построении окончательных выражений для интеграла используем следующее соотношение:
,
где – интеграл вероятностей, обладающий следующими свойствами:
;
Т.о., с учетом введенной в рассмотрение функции, получим:
;
Дифференцируя гауссовскую плотность по , получим:
.
С использованием результатов дифференцирования:
.
Используя введенные ранее обозначения, получим окончательный результат интегрирования:
.
Интегрируя по частям выражение для с учетом приведенных выше соотношений получим:
.
Окончательно имеем:
.
При необходимости процесс вычисления интегралов для более высоких степеней в подынтегральном выражении может быть продолжен интегрированием по частям.
Приведенные выше интегралы позволяют существенно упростить многократный процесс построения параметров линеаризации с использованием вычислительной техники.
Рассмотрим, например, нелинейное звено, обладающее симметричной относительно начала координат функциональной зависимостью
с насыщением
с зоной нечувствительности
. Наклонные участки составляют с осью абсцисс угол 45°. Входной гауссовский случайный процесс обладает математическим ожиданием
и дисперсией
.
Т.о. – кусочно-линейная функция:
Вычислим значения параметров линеаризации в соответствии с приведенными соотношениями:
.
Интеграл в числителе выражения для коэффициента , рассчитанного по первому способу линеаризации, может быть несколько упрощен:
.
Т.о.
,
где:
.
Интеграл в числителе выражения для коэффициента , рассчитанного по второму способу линеаризации, также как и в предыдущем случае может быть несколько упрощен:
.
т.о. значение коэффициента линеаризации , рассчитанного по второму способу, примет вид:
,
где
.
В случае если , приведенные соотношения несколько упростятся.