Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам
и
Координаты центра масс фигуры
и
.
Пример 2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: х+у=2, х=0 и у=0.
Решение:
Изобразим данную область на чертеже.
Рис.9. Область интегрирования, ограниченной линиями: х+у=2, х=0 и у=0.
Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле Получим:
Пример 3. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.
Решение:
Объём тела, вычисляется по формуле: Область D – плоская область, которая является основанием данного тела в плоскости Оху. В данном случае она ограниченна прямыми х=0, у=0, х+у=1. Изобразим её:
Рис.10. Область, ограниченная прямыми х=0, у=0, х+у=1.
Выразим z(x; y)=1-x-y. Получим:
Задания для самостоятельной работы
1. Поменять порядок интегрирования:
1)
2)
3)
4)
2. Вычислить следующие интегралы:
1)
2)
3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
4. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: z=1+x+y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.
5. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: z=x+y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.
Рекомендуемая литература: 1.2[с. 438-439], 2.2[с. 6-17].
Самостоятельная работа №10
Тема: Решение дифференциальных уравнений
Цель: закрепление умения решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения первого порядка, решать задачу Коши, линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Время выполнения: 6 часов.
Теоретический материал
Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой искомой функции, если оно содержит хотя бы одну производную этой функции.
Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимисяпеременными.
Пример 1.Решить уравнение
Решение:
Запишем это уравнение в виде
2. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида в котором функции M(x;y)и N(x;y) однородные одного и того же измерения.
Однородные уравнения решаются с помощью подстановки
Пример 2.Решить уравнение если
Решение:
Пусть
Подставив y и dy в данное уравнение, получим
(уравнение с разделяющимися переменными).
Обратная замена даёт общее решение
Для нахождения частного условия воспользуемся условием
Тогда или
Пример 3. Решить уравнение
Решение:
Воспользуемся подстановкой:
Получим:
Вычислим интеграл отдельно:
Таким образом,
Обратная замена переменной даёт общее решение:
3. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение где p(x) и q(x) – заданные непрерывные в интервале (a;b)функции.
Общее решение данного уравнения находим по формуле:
Если q(x)=0, то данное уравнение называется линейным однородным уравнением первого порядка; в противном случае – линейным неоднородным уравнением первого порядка. Следовательно, линейное однородное уравнение первого порядка имеет вид
Формула общего решения данного уравнения имеет вид:
Пример 4.Решить уравнение
Решение:
Воспользуемся формулой
Получим:
Пример 5.Решить уравнение
Решение:
Воспользуемся формулой
В данном уравнении подставим эти функции в формулу, получим:
Вычислим интеграл отдельно:
Таким образом: