Статистический приемочный контроль продукции.

( метод последовательного анализа )

Последовательный анализ появился в 1942 – 1943 гг. в связи с поиском более эффективных, чем классические, методов статистического приемочного контроля массовой продукции промышленности. Создателем этого метода является американский статистик А. Вальд.

Рассмотрим применение последовательного анализа к задаче различия гипотез и . Предложим, что гипотезы относятся к параметру Q, т. е. , . Требуется найти выборочную схему, делящую выборочное пространство на три взаимно непересекающиеся области:

а) , при попадании в которую выборочной точки принимается гипотеза ;

б) , при попадании в которую выборочной точки принимается гипотеза ;

в) — остальная часть выборочного пространства, при попадании в которую выборочной точки выбор продолжается.

Поставленная задача состоит в построения функция , называемой решающей функцией (или решающим правилом), которая каждой выборочной точке ставит в соответствие некоторый элемент так, что при наблюдении выносится решение . Согласно критерию отношения вероятностей Вальда, последовательное решающее правило состоит в следующем.

Строится отношение правдоподобия:

(4.3)

Отметим, что - это условная плотность вероятности для наблюдаемых значений при истинности гипотезы ( ).

В дальнейшем величина сравнивается с постоянными порогом А и В. Если , то принимается гипотеза ; если , то принимается гипотеза , если , то делается еще одно наблюдение (выбор продолжается). После логарифмирования критическое неравенство примет вид

Рассмотренный критерий называется последовательным критерием отношения вероятностей. Очевидно, последовательный критерий отношения вероятностей обладает определенными оптимальными свойствами, так как он использует всю имеющуюся в распоряжении информацию, включая порядок появления выборочных значений.

Теперь определим значения порогов А и В. Рассмотрим выборку, для которой лежит между А и В для первых испытаний, так что принимаем (отвергаем ). Согласно (4.3) вероятность получения такой выборки по крайней мере в А раз больше при гипотезе , чем при гипотезе . Учитывая, что вероятность принятия , когда выполняется , равна , а вероятность принятия , когда выполняется , равна , можно записать;

.

Отсюда

Аналогично, рассматривая случаи, когда принимается , получим

На практике более удобным является вычисление логарифма отношения правдоподобия, чем непосредственное вычисление отношения правдоподобия.

Тогда неравенства примут вид

- условие продолжения испытаний,

- условие браковки,

- условие приемки.

Соотношение между постоянными А и В выглядит в следующем виде:

, , ( 4.4)

где - риск поставщика; - риск заказчика.

В дальнейшем рассмотрим построение областей отработки для различных законов распределения параметров работоспособности системы:

Нормальный закон

Условие приемки: ( )

;

.

Условие браковки:

;

.

Области принятия решений представлены на рис. 4.1

Рис. 4.1 Области принятия решений.

Экспоненциальный закон

;

Условие приемки: ( )

;

.

Условие браковки:

;

.

Области отработки принятия решений на рис. 4.2

Рис. 4.2 Области принятия решений.

Биноминальный закон

;

Условие приемки: ( )

;

.

Условие браковки:

Области принятия решений представлены на рис. 4.3

Рис. 4.3 Области принятия решений.

Прогнозирование объема испытаний

Анализ поведения случайных траекторий показывает, что моменты окончания испытаний являются случайными величинами ( см. рис. 4.4).

Причем в случае приемки партии выполняется соотношение

,

Рис. 4.4 Траектории случайных реализаций значений M(n)=Ln{L(n)}

В этом случае вероятность приемки правильной гипотезы равна

Соответственно, если произойдет браковка, то

,

При этом вероятность браковки правильной гипотезы равна .

Можно доказать, что

.

С другой стороны математическое ожидание можно оценить по соотношению ( см. рис. 4.4)

Отсюда

,

где

Таким образом

В дальнейшем найдем средние объемы испытаний для различных законах распределения параметров работоспособности системы:

Планирование испытаний при биномиальном законе распределения

В этом случае математическое ожидание логарифма отношения значений плотности распределения случайной величины x при и определяется по известному выражению

.

Тогда средний объем испытаний, необходимый для подтверждения заданного показателя надежности , находится по формуле ( ).

.

Планирование испытаний в случае, если параметр подчиняется нормальному закону

Найдем математическое ожидание логарифма отношения значений функции плотности распределения наработки на отказ при и .

Обозначим

(4.5)

или ,

где .

Принимая , находим отношение правдоподобия

(4.6)

Подставляя выражение (4.6) в (4.5.) и интегрируя, найдем

Средний объем испытаний, необходимый для подтверждения заданного показателя надежности, определяется по формуле ( )

.

Планирование испытаний в случае, если параметр подчиняется экспоненциальному закону

Для определения среднего объёма испытаний найдем математическое ожидание логарифма отношения значений функций плотности распределения наработки на отказ при и .

Проинтегрировав выражение, получим

В этом случае средний объем испытаний, необходимый для подтверждения заданного показателя, определяется по формуле ( )

Для сравнения полученных объёмов испытании при нормальном законе распределения классическим методом и методом последовательного анализа найдем отношение этих объемов и определим средний выигрыш.

Отношение объемов испытаний оценивается по формуле

,

где - последовательный анализ; - метод Неймана.

Так как при планировании испытаний последние не бракуются, то риск поставщика равен нулю ( ).. При примем квантиль равным 3.9.

Окончательно можно написать

Как видно из равенства отношение объемов испытаний зависит лишь от риска заказчика и не зависит от показателя надежности. Средний выигрыш в объеме испытаний методом последовательного анализа по сравнению с классическим методом в относительных единицах для различных значений приведен в табл. 4.3

Таблица 4.3

Риск заказчика
0,25	0,674	-2,763	20,92	0,13
0,20	0,842	-3,218	22,48	0,14
0,15	1,036	-3,794	24,36	0,15
0,10	1,282	-4,605	26,85	0,17
0,05	1,645	-5,991	30,74	0,19
0,01	2,326	-9,210	38,76	0,24
0,005	2,576	-10,596	41,94	0,25
0,001	3,09	-13,815	48,86	0,28

Анализ табл.4.3 свидетельствует о том, что с уменьшением риска заказчика уменьшается и выигрыш в объеме испытаний. Так как для изделий риск заказчика обычно принимается в пределах от 0,1 до 0,01, то в среднем объем при планировании испытаний методом последовательного анализа с односторонней границей для нормального закона существенно уменьшается по сравнению с методом фиксированного объема.

Лекция №14