Дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня

Определено, что мерой деформации призматического стержня при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя. Можно показать, что с достаточной для инженерных расчетов точностью этим тезисом можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгиба стержня. Однако для практических целей кроме кривизны дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru необходимо определить вертикальные перемещения центров тяжести отдельных поперечных сечений — прогибов балки v, а иногда и углы поворота этих сечений дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (рис. 2). Вследствие гипотезы плоских сечений угол поворота сечения ( дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru оказывается равным углу наклона касательной к изогнутой оси балки, который в силу малости

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (1)

Тогда возникает геометрическая задача: составить уравнение для функции прогиба дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru , зная закон изменения ее кривизны.

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Рис.2. Расчетная схема определения перемещений при изгибе

Воспользуемся известным из дифференциальной геометрии выражением для кривизны в прямоугольных декартовых координатах:

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (2)

Однако, учитывая, что в инженерной практике применяются достаточно жесткие балки, для которых наибольший прогиб f (рис.2) мал по сравнению с длиной (f / l << 1), а первая производная от прогиба имеет порядок

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

и, следовательно, величиной (dv / dz)2<<1, стоящей в знаменателе (2), можно пренебречь, выражение для кривизны упрощается

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (3)

Тогда, подставив это выражение в полученную ранее связку кривизны и изгибающего мометна — дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru , условившись что ось Oy направлена вверх и согласовав знаки дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru и Мх, приходим к дифференциальному уравнению прямого изгиба балки

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (4)

известному также как дифференциальное уравнение упругой кривой.

Если учесть точное выражение для кривизны по формуле (2), то точное уравнение упругой кривой

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

является нелинейным дифференциальным уравнением. Поэтому линейное дифференциальное уравнение, описывающее малые прогибы балки, иногда называют линеаризованным уравнением упругой кривой.

Решение уравнения получаем путем двукратного почленного интегрирования. При первом интегрировании получаем выражение

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (5)

которое с учетом дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru , дает также закон изменения углов поворота поперечных сечений по длине балки. Повторным интегрированием получаем функцию прогиба

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (6)

Постоянные интегрирования С и D должны быть найдены из граничных условий.

Во всех приведенных выше уравнениях функция изгибающего момента Мх(г) предполагалась известной, что возможно лишь для статически определимых балок. Простейшие варианты статически определимых однопролетных балок и соответствующие граничные условия показаны на рис. 3. Условия, накладываемые на прогиб и угол поворота сечения, получили название кинематических граничных условий. Как видно, для шарнирно опертой балки требуется, чтобы прогиб на опорах v(0) =v(l) =0, а для консольной балки прогиб и угол поворота сечения в заделке

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Рис.3. Примеры граничных условий: а) двухопорная, б) консольная балки

Дифференциальное уравнение неприменимо для расчета статически неопределимых балок, так как содержит неизвестный изгибающий момент Мx появившийся в результате двукратного интегрирования уравнения четвертого порядка

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (7)

В этом уравнении нагрузка q известна, поэтому его можно получить, учитывая, что

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

При интегрировании уравнения необходимо задать четыре граничных условия (по два на каждом конце балки) в том числе так называемые силовые граничные условия — условия, накладываемые на силовые величины (изгибающий момент и поперечную силу), которые выражаются через производные от прогиба. Так как

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

а с учетом дифференциального соотношения Qy=dMx/dz, получаем

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (8)

Вернемся к интегрированию уравнения второго порядка. Если имеется несколько участков, для которых правая часть уравнения исходного f(z)=Mx/EJx, содержит разные аналитические выражения, то интегрирование усложняется. На рис. 4 приведена эпюра Мx, содержащая п участков. Для каждого участка независимое интегрирование дает по две константы, а при п участках требуется определить 2n постоянных. Добавляя к двум граничным условиям на опорах 2(n—1) условия непрерывности и гладкости упругой кривой на границе; смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов v и углов поворота сечений dv/dz на этих границах

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

получим 2п граничных условий, необходимых для нахождения постоянных интегрирования.

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Рис.4. Расчетная схема балки, содержащая n углов

Рекомендую для практики решения дифференциальных уравнений второго порядка воспользоваться системой входных тестов Т-4, приведенных в ПРИЛОЖЕНИИ.

Лекция № 22. Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент Мz. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru и дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru ) Мz связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 1)

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Условимся считать Mz положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в указанном соотношении, где крутящий момент Мz принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ог.

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Рис.1. Связь крутящего момента с касательными напряжениями

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Рис.2. Иллюстрация положительного и отрицательного крутящего момента

Рассмотрим кручение призматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:

  1. поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);
  2. расстояния между поперечными сечениями не изменяются, следовательно дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru ;
  3. контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru ;
  4. материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru , из обобщенного закона Гука в форме получаем дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru . Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Рис.3. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния

Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (угол сдвига), поскольку на величину дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.

Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 5). При повороте правого сечения на угол дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru ) будет перемещаться по дуге BB1, вызывая поворот волокна на угол сдвига

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Обратим внимание на то, что в соответствии с рис. 5 и рис. 6, а сдвиг дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru и связанное с ним касательное напряжение дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru перпендикулярны радиусу дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru . Определим дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru , воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (1)

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Рис.5. Расчетная модель определения касательных напряжений

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

а) ортогональность дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru и дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru
Рис.6. Распределение касательных напряжений при кручении:

Здесь дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru — погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме (рис. 6, a)

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (2)

Подставляя (1) в (2) и учитывая, что

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

где Jp—; полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru ), получаем

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (3)

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Рис.7. Распределение напряжений для кольцевого сечения

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

а) разрушение дерева, б) разрушение чугуна
Рис.8. Распределение исходных касательных и главных напряжений:

Подставляя выражение (3) в (1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (4)

Как видно из (4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояний от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения.

Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3). Поскольку величина DJp стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (Mz через нее выражается) дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru тем меньше, чем больше DJp, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

найдем полный угол закручивания стержня длиной l

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (5)

В случае, если по длине стержня Мz и DJp постоянны, получаем

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

когда эти величины кусочно-постоянны, то:

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (6)

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

где Wр — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru .

Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (7)

где дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru — допускаемое напряжение на кручение.

Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 7). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

где дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru , а момент сопротивления определяется по формуле

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru , а главные напряжения дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru действуют на площадках, наклоненных.коси стержня под углами дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru ; главное напряжение дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru .

Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней. Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 8, a). Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45o, т. е. по траектории главного напряжения дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (рис. 8,б).

РАСЧЕТ ВАЛОВ

Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент т, передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моменту крутящий момент необходим для расчета вала.

Если число оборотов вала в минуту п и соответствующая угловая скорость дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru-1) постоянны, а Ф — угол поворота вала в данный момент времени t, то работа вращательного движения А=тФ. Тогда передаваемая валом мощность будет равна

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru

Отсюда

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru кНм,

где учтено, что дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru .

Если мощность подается на вал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах, а затем строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется, очевидно, по max Mz.

Определение диаметра вала из условия прочности. Условие прочности при кручении вала имеет вид (7), где допускаемые напряжения дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru принимаются пониженными по сравнению с допускаемыми напряжениями обычного статического расчета в связи с необходимостью учета наличия концентраторов напряжений (например, шпоночных канавок), переменного характера нагрузки и наличия наряду с кручением и изгиба вала.

Требуемое значение Wp=dз/16 получаем из условия (7), принимая в нем знак равенства

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru ,

откуда получаем формулу для диаметра вала кругового сечения

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (8)

Определение диаметра вала из условия жесткости. Условие жесткости состоит в наложении ограничения на погонный угол закручивания вала дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru , так как недостаточно жесткие валы не обеспечивают устойчивой передачи мощности и подвержены сильным колебаниям:

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (9)

Тогда, учитывая, что дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru , для диаметра вала из условия жесткости имеем

дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня - student2.ru (10)

Аналогично проводятся расчеты и для вала кольцевого поперечного сечения.

Лекция № 23. Практические примеры расчета на сдвиг. Заклепочные соединения.

Наши рекомендации