Импульсная характеристика (весовая функция)

В качестве тестового сигнала можно, в принципе, использовать любой сигнал. Например, можно изучать реакцию системы на прямоугольный импульс. Вопрос в том, чтобы определить некоторый стандартный вид этого импульса. На рисунках а)-в) показаны три импульса, имеющих одинаковые площади. Для простоты будем считать, что эта площадь равна единице.

Рис.5.3. Прямоугольные импульсы и дельта функция.

Будем уменьшать ширину импульса, сохраняя его площадь. Очевидно, что высота импульса будет расти и в пределе (когда ширина стремится к нулю) станет бесконечной. Таким образом, мы получили еще один классический тестовый сигнал – единичный импульсили дельта-функциюДирака δ(t). Это идеальный (невозможный в реальной жизни) сигнал, который равен нулю во всех точках, кроме t = 0, где он уходит в бесконечность, причем его площадь (интеграл по всей оси времени) равен единице:

, .

На графике бесконечный импульс изображается стрелкой, высота которой равна единице (см. Рис.5.3 г). Иногда определяют дельта-функцию как производную от единичного ступенчатого сигнала 1(t) . Действительно, эта производная равна нулю при всех значениях t, кроме нуля, где она обращается в бесконечность.

Реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию) называется импульсной характеристикойи обозначается w(t):

Рис.5.4. Импульсная характеристика.

Импульсная характеристика, так же, как и переходная характеристика, определяется при нулевых начальных условиях, то есть объект должен находиться в состоянии покоя. Рассматривая дельта-функцию как предельный случай прямоугольного сигнала единичной площади, можно найти связь между переходной функцией и импульсной характеристикой.

Частотные характеристики

Еще один стандартный эталонный сигнал – гармонический (синус, косинус), например: x(t) = sinωt, где ω– угловая частота (в радианах в секунду). Можно показать, что при таком входе на выходе линейной системы в установившемся режиме (при больших t) будет синус той же частоты, но с другой амплитудой A и сдвигом фазы φ:

y(t) = A(ω) ⋅sin(ωt +φ(ω)) .

Для каждой частоты входного сигнала будет своя амплитуда и свой сдвиг фазы. Чтобы определить по графику фазовый сдвиг φ, нужно найти расстояние Δtпо оси времени между соответствующими точками синусоид (например, точками пересечения с осью t или вершинами). Если Δtумножить на частоту ω, получаем сдвиг фазы φ(в радианах).

На Рис.5.5 показан случай φ>0 (опережение по фазе), когда выход сдвинут «влево» по оси времени относительно входа, то есть, «идет раньше» входного.

Рис.5.5. Сдвиг выходного сигнала по фазе.

Зная передаточную функцию системы W(s) , можно вычислить амплитуду и сдвиг фазы по формулам

, .

Запись W(jω) означает, что в передаточную функцию W(s) подставляется чисто мнимое число s = jω, где j= −1 . Для каждой частоты ωзначение W(jω) = P + jQ– это некоторое комплексное число, имеющее амплитуду W(jω)= P2 +Q2 и фазу argW( jω) = arctg(Q/P) .

Функция W(jω) называется частотной характеристикойзвена, поскольку она характеризует выход системы при гармонических сигналах разной частоты. Зависимости P(ω) и Q(ω)(вещественная и мнимая части W( jω) ) – это вещественная и мнимая частотные характеристики.

Функции A(ω) иφ(ω) (они для каждой частоты принимают вещественные значения) называются соответственно амплитуднойи фазовой частотными характеристиками(АЧХ иФЧХ).Амплитудная частотная характеристика – это коэффициент усиления гармоническогосигнала. Если на какой-то частоте ωзначениеA(ω) >1, входной сигнал усиливается, еслиA(ω) <1, то вход данной частоты ослабляется.

По форме АЧХ различают несколько основных типов звеньев:

1) фильтр низких частот– пропускает низкочастотные сигналы примерно с одинаковымкоэффициентом усиления, блокирует высокочастотные шумы и помехи;

2) фильтр высоких частот– пропускает высокочастотные сигналы, блокирует сигналынизкой частоты;

3) полосовой фильтр– пропускает только сигналы с частотами в полосе от ω₁до ω₂;

4) полосовой режекторный фильтр– блокирует только сигналы с частотами в полосе отω₁до ω₂, остальные пропускает.

На Рис.5.6 показаны амплитудные частотные характеристики идеальных фильтров этих четырех типов:

Рис.5.6.Амплитудные частотные характеристики идеальных фильтров.

В радиотехнике используется понятие полосы пропускания– это ширина полосы частот, в которой значение АЧХ больше чем 1/2 от ее максимального значения.

Частотные характеристики во многих случаях можно снять экспериментально. Если объект устойчивый, на его вход подается гармонический сигнал и записывается сигнал y(t) на выходе. Определив амплитуду и сдвиг фазы для разных частот, можно построить по точкам амплитудную и фазовую частотные характеристики,Рис.5.7.

Рис.5.7. Определение амплитудной и фазовой частотных характеристик.

Если объект неустойчив, то при подаче на вход синуса амплитуда колебаний на выходебудет неограниченно расти. Однако частотную характеристику все равно можно определитьэкспериментально. Для этого нужно подключить какой-нибудь регулятор, который сделаетзамкнутую систему устойчивой. Затем на вход r(t) подают синусоидальный сигнал и сравнивают сигналы x(t) и y(t) на входе и выходе интересующего нас объекта, определяя для каждойчастоты ω«коэффициент усиления» A(ω) (отношение амплитуд сигналов x(t) и y(t) ) и сдвигфазыφ(ω)