Поступательное движение. Линии тока и элементарные струйки

В общем случае движение элементарного объема жидкости является суммой поступательного, вращательного и деформационного движений. Последнее обусловлено изменением формы объема жидкости. Учет всех этих факторов практически невозможен. Поэтому в гидравлике рассматривают в основном два вида движения — поступательное и вращательное (вихревое). В поступательном движении, основываясь на принятом способе описания Эйлера, введем следующие понятия: линия и трубка тока, элементарная струйка. Линия тока — линия в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости жидкости совпадает с касательной (рис. 3.2, а к этой линии. В установившемся движении линия тока явля­ется траекторией частицы жидкости. Трубка тока — поверхность, образованная линиями тока, проведенными в данный момент времени через все точки бесконечно малого замкнутого контура, нормального к линиям тока и находящегося в области, занятой жидкостью (рис. 3.2, б).Элементарная струйка — часть движущейся жидкости, ограниченная трубкой тока (рис. 3.2, б).Элементарная струйка обладает рядом важных свойств, которые будут использованы при дальнейших выводах: частицы жидкости не выходят из струйки и не входят в нее через боковую поверхность; это объясняется тем, что боковая поверхность струйки образована линиями тока, а следовательно, в любой точке векторы скоростей направлены по касательным; скорости частиц во всех точках одного и того же поперечного сечения струйки одинаковы, что объясняется малостью поперечного сечения;

при установившемся движении форма струйки остается неизменной во времени.

Равномерное и неравномерное движение

В зависимости от характера изменения скорости по длине пространства, заполненного жидкостью, установившееся движение может быть: равномерным, при котором скорость по длине остается постоянной (рис. 3.3, а); неравномерным, если скорость по длине изменяется по величине и (или) направлению (рис. 3.3, б, в); плавно изменяющимся, если скорость по длине хотя и изменяется, но это изменение происходит плавно (рис. 3.3, г, д). С достаточной для практики точностью в последнем случае можно применять законы равномерного движения.

Вихревое движение

Движению жидкости часто сопутствует вихревое движение, вызванное вращением элементарного объема. Угловая скорость вра­щения со элементарного объема жидкости называется вихрем, а линия, касательная во всех точках к векторам вихря вихревой линией (рис. 3.4, а).

Поверхность, образованная вихревыми линиями, проведенными через все точки элементарного замкнутого контура, называют вихревой трубкой, а жидкость, заключенную внутри вихревой трубки, — вихревой нитью — шнуром (рис. 3.4, б).

Расчетным вихрем является вектор угловой скорости вращения частиц относительно мгновенной оси. Физический вихрь — группа частиц, вращающихся как твердое тело вокруг некоторой мгновенной оси. Мгновенная ось вращения может быть неподвижной или перемещающейся в пространстве. Перемещающиеся вихри наблюдаются сзади какого-либо тела, движущегося в жидкости, в виде колец дыма и пара, выходящих из труб. В природе они часто встречаются в виде смерчей. Изучение перемещающихся вихрей имеет большое значение при конструировании и исследовании лопастных машин, самолетов и при транспортировании жидкостью твердых тел. В гидромеханике широко применяется понятие циркуляции скорости — кинематической характеристики течения жидкости или газа, служащей мерой завихренности.

Циркуляцией скорости Г вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл

где — проекция скорости на касательную к контуру; - элемент длины контура (рис. 3.5). Размерность , единица в системе СИ-м²/с. Если принять за контур окружность радиуса г, а скорость постоянной по окружности, то . На поверхности вихревой трубки и_{ = ω*r. Тогда

где F =πr² — поперечное сечение вихревой трубки.

Циркуляция вдоль произвольного замкнутого контура, проведенного на поверхности вихревой трубки и охватывающего трубку один раз, называется интенсивностью вихря (вихревой трубки). Интенсивность вихря постоянна вдоль всей вихревой трубки. Можно сформулировать весьма важную теорему Гельмгольца: вихревые нити в жидкости не могут оканчиваться внезапно, они или простираются концами в бесконечность, или замыкаются в кольца, или опираются на границы жидкости, например на твердые тела.

Циркуляция скорости, если пренебречь рассеиванием энергии, при удалении от вихря остается неизменной Следовательно, скорость по замкнутому контуру радиуса R (рис. 3.5), обусловленная вихрем, определится по зависимости.

Виды потоков

Поток можно представить как совокупность элементарных струек. Такое представление о потоке является струйной моделью потока.

Потоки можно разделить на напорные, безнапорные и струи.

Напорным называется поток, ограниченный со всех сторон твердыми стенками (рис. 3.6, а). Примером такого потока является движущаяся вода в водопроводе или шахтном водоотливном трубопроводе, масло в маслопроводе, движущийся воздух в выработках шахты и т. д.

Безнапорным называется поток, ограниченный твердыми стенками не со всех сторон и имеющий по всей длине свободную поверхность (рис.3,6.б). Примером такого потока является вода в реке, водоотливной канавке шахты и т. д.

Струей называется поток жидкости, ограниченный поверхностями разрыва скоростей (ABCD на рис. 3,6, в), т. е. поверхностью в движущейся жидкости, при переходе через которую касательные к этой поверхности векторы скорости скачкообразно изменяют свою величину. Примером такого потока может служить струя воды из пожарного брандспойта или гидромонитора.

3.3.2. Живое сечение. Расход. Средняя скорость

Живое сечение ω— поверхность АВ в пределах потока (рис. 3.7, а), нормальная в каждой своей точке к проходящей через нее линии тока. При равномерном или плавно изменяющемся движении живое сечение является плоским.

Размерность единица в системе СИ — м².

Периметр смачивания — длина контура живого сечения по твердым стенкам русла; для рис. 3,6, а для рис. 3, 6, б — кривая abed по сечению потока.

Размерность единица в системе СИ — м.

Гидравлический радиус R — отношение площади живого сечения к смоченному периметру:

Размерность R: [R] = L, единица в системе СИ – м.

Для круглого сечения (см. рис. 3.6, а)

Количество жидкости, проходящее через живое сечение в единицу времени, называется расходом.

В элементарной струйке (рис. 3.7, б) скорость одинакова во всех точках бесконечно малого живого сечения . За весьма малое время сечение a¢b¢ переместится в положение на длину описав объем равный

Элементарный расход

где — функция, для которой существует предел отношения при поэтому она дифференцируется по t

где — первая производная пути по времени — скорость частиц u.

Тогда расход через живое сечение элементарной струйки будет

В разных точках живого сечения потока АВ (рис. 3.7, а) ско­рости различны, поэтому для установления расхода необходимо взять определенный интеграл по сечению АВ:

Размерность Q: единица в системе СИ — м³/с.

В выражении (3.8) расход определяет объем жидкости, проходящей в единицу времени через данное живое сечение, поэтому он называется объемным расходом.

Если перемещается жидкость переменной плотности, то удобнее определять массовый расход Q_m, который выражает массу жидкости, проходящей в единицу времени через данное живое сечение

(3.9)

Размерность единица в системе СИ — кг/с.

Аналитически интегралы (3.8) и (3.9) могут быть решены только в том случае, если известны или например при ламинарном движении [см. (5.17)].

В других случаях этот интеграл может быть решен графически па основе экспериментальных данных. Для этого живое сечение потока разбивают на равновеликие площади

(рис. 3.8), определяют скорость и в каждой площади Лео и расход:

Объемный расход через живое сечение будет равен сумме расходов через намеченные площади

или в общем случае

Объемный расход является одним из основных параметров по­тока и определяет количество жидкости (газа), транспортируе­мой в единицу времени по трубопроводу или потребля­емой различными установ­ками. Поэтому в инженерных расчетах значение расхода обычно является заданным. В большинстве случаев не­известно изменение скорости по живому сечению, вследствие чего введено понятие средней скорости, которая определяется как частное от деления объемного расхода на живое сечение потока,

Размерность v : единица в системе СИ — м/с. Объемный расход может быть определен через среднюю скорость

Соответственно массовый расход

Если известна эпюра скоростей в пределах живого сечения, то средняя скорость

Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности (сплошности) является математиче­ским выражением закона сохранения массы в гидромеханике.

В движущейся жидкости выделим параллелепипед объема dV (рис. 3.11) с бесконечно малыми ребрами dx, dy, dz.

За время dt в него входит масса и выходит Прираще­ние массы в направлении оси ох (рис. 3.9)

По аналогии для других осей:

Приращение массы в параллелепипеде

(3.15)

Изменение массы в объеме do за время dt может быть только за счет изменения плотности, следовательно,

(3.16)

Приравняем выражения (3.15) и (3.16)

После элементарного преобразования и сокращения получим уравнение неразрывности в форме Эйлера

Для установившегося движения уравнение неразрывности примет вид

Если жидкость несжимаемая, то и уравнение неразрывности будет

Выделим в потоке объем жидкости abdc (рис. 3.10, а) весьма малой длины, при которой можно считать живые сечения входа ас и выхода bd одинаковыми и равными ω.

Так как средняя скорость v параллельна оси х, то v_x=v v_y =0; v_z =0.

Используя уравнение (3.18), получим

Следовательно, а поскольку живое сечение ω=const то произведение этих величин и основное условие

неразрывности (постоянства массового расхода) примет вид

Если жидкость несжимаемая то по уравнению (3.19) а следовательно, условие неразрывности выразится формулой

Если живое сечение потока изменяется (pис. 3.10. б), то при

Из соотношения (3.22) ясно, что скорости изменяются обратно пропорционально живым сечениям. Если плотность изменяется по длине, то

Последнее справедливо для газов, если скорость меньше скорости звука, и для капельной жидкости при отсутствии кавитации.

Основы гидродинамики

Гидродинамика — наука о движении жидкости под действием внешних сил и о механическом взаимодействии между жидкостью и соприкасающимися с ней телами при их относительном движе­нии.