Введем теперь следующее определение.

Два события A и B называются независимыми, если предположение о том, что произошло одно из них, не изменяет вероятность другого, т. е. если

(1.9)

Если я несколько раз кидаю игральную кость, и хочу, чтобы выпала "шестерка", а мне все время не везет, значит ли это, что надо увеличивать ставку, потому что, согласно теории вероятностей, мне вот-вот должно повезти? Увы, теория вероятности не утверждает ничего подобного. Ни кости, ни карты, ни монетки не умеют запоминать, что они продемонстрировали нам в прошлый раз. Им совершенно не важно, в первый раз или в десятый раз сегодня я испытываю свою судьбу. Каждый раз, когда я повторяю бросок, я знаю только одно: и на этот раз вероятность выпадения "шестерки" снова равна одной шестой. Конечно, это не значит, что нужная мне цифра не выпадет никогда. Это означает лишь то, что мой проигрыш после первого броска и после любого другого броска - независимые события.

Из соотношения (7) вытекает, что из двух равенств (8) одно является следствием другого.

Пусть, например, событие A — появление герба при однократном бросании монеты, а событие B — появление карты бубновой масти при вынимании карты из колоды. Очевидно, что события A и B независимы.

В случае независимости событий A к B формула (5) примет более простой вид:

(1.10)

т. е. вероятность совмещения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

События называются независимыми в совокупности, если вероятность наступления каждого из них не меняет своего значения после того, как одно или несколько из остальных событий осуществились.

Исходя из этого определения, в случае независимости событий между собой в совокупности на основании формулы (8) имеем

(1.11)

Пример 1.4. Какова вероятность того, что при десятикратном бросании монеты герб выпадет 10 раз ?

Решение: Пусть событие — появление герба при бросании. Искомая вероятность есть вероятность совмещения всех событий , а так как они, очевидно, независимы в совокупности, то, применяя формулу (11), имеем

Но для любого i; поэтому

Пример 1.5. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго — 0,8, для третьего — 0,7. Найти: 1) вероятность того, что в течение часа ни один из трех станков не потребует внимания рабочего; 2) вероятность того, что в течение часа по крайней мере один из станков не потребует внимания рабочего.
Решение:
1) Искомую вероятность р находим по формуле (11):

2) Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего для первого станка равна 1—0,9=0,1, для второго и для третьего станков она соответственно равна 1—0,8=0,2 и 1—0,7=0,3. Тогда вероятность того, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего, на основании формулы (10) составляет

Событие A, заключающееся в том, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего, противоположно событию , состоящему в том, что по крайней мере один из станков не потребует внимания рабочего. Поэтому по формуле (3) получаем

Пример 1.6. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Решение: Эта задача уже была решена в п. 3 с помощью классического определения вероятности. Решим ее, применяя формулу (6). Извлечение двух шаров равносильно последовательному их извлечению. Обозначим через Апоявление белого шара при первом извлечении, а через В — при втором. Событие, состоящее в появлении двух белых шаров, является совмещением событий А и В. По формуле (5) имеем

Но ; , поскольку после того, как был вынут первый белый шар, в урне осталось 9шаров, из которых 2 белых. Следовательно,

Пример 1.7. В урне имеется красных, синих и белых шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны берут на удачу один шар и не возвращают обратно. Какова вероятность того, что при первом испытании будет вынут красный шар (событие ), при втором – синий (событие ), при третьем – белый (событие ).

Решение.Поскольку , , , то согласно формуле

получим:

.

Пример 1.8. В каждом из трех ящиков имеется по детали; при этом в первом ящике , во втором , в третьем стандартные детали. Из каждого ящика берут по одной детали. Найти вероятность того, что все три извлеченные детали окажутся стандартными.

Решение. Пусть извлечение стандартной детали из первого ящика - событие , из второго - событие , из третьего - событие . Тогда , , .

Согласно формуле получим .

Пример 1.9. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна , вторым - , третьим - . Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка опадут цель; в) все три стрелка попадут в цель.

Решение.а). Введем обозначения: поражение цели первым стрелком - событие , вторым - , третьим - . Попадание в цель только первым стрелком - событие , только вторым стрелком - , только третьим - . Пусть , , , тогда , , . Поскольку , , и события , , несовместны, то вероятность того, что только один стрелок попадет в цель будет выражаться формулой . Так как , , , то

Подставляя данные, получим: вероятность попадания в цель только одного (не важно какого) стрелка равна

б). Пусть событие - попадание в цель только вторым и третьим стрелками, - только первым и третьим стрелками, - только первым и вторым стрелками. То есть , , . Тогда вероятность того, что только два (неважно какие) стрелка попадут в цель выразится формулой:

Подставляя данные, получим: вероятность попадания в цель только двух (не важно каких) стрелков равна

б). Вероятность того, что все три стрелка попадут в цель, будет равна

Формула полной вероятности.

Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий , образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий : либо , либо , либо и т.д. Следовательно,

Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем

Но ,

поэтому

(1.12)

Эта формула называется формулой полной вероятности. События часто называют «гипотезами».

Пример 1.10. В магазин поступили электрические лампочки одного типа, изготовленные на четырех ламповых заводах. C 1-го завода 250 шт., со 2-го — 525 шт., с 3-го — 275 шт. и с 4-го — 950 шт. Вероятность того, что лампочка прогорит более 1500 часов, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го — 0,30, для 3-го — 0,20, для 4-го — 0,10. При раскладке по полкам магазина лампочки были перемешаны. Какова вероятность того, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов?

Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что лампочка прогорит более 1500 часов, а — гипотезы, что она изготовлена соответственно 1, 2, 3 или 4-м заводом. Так как всего лампочек 2000 шт., то вероятности гипотез соответственно равны:

Далее, из условия задачи следует, что

Используя формулу полной вероятности (11), имеем

7. Формула Бейеса.

Предположим, что будет производится некоторый опыт, причем об условиях его проведения можно высказать n (единственно) возможных и несовместных гипотез , имеющих вероятности . Пусть в результате проведения этого опыта может произойти или не произойти событие А, причем известно, что если опыт происходит при выполнении гипотезы , то .

Спрашивается, как изменятся вероятности гипотез, если стало известным, что событие А произошло? Иными словами, нас интересуют значения вероятностей .

На основании соотношений (5) и (6) имеем

Откуда .

Но по формуле полной вероятности

Поэтому

(1.13)

Формула (13) называется формулой Бейеса (Т. Бейес (ум. 1763) - английский математик.).

Пример 1.11. На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 460—на 2-м и 340 - на 3-м. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го — 0,02, для 3-го — 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?

Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что взятый подшипник нестандартный, а - гипотезы, что он изготовлен соответственно 1-м, 2-м или 3-м заводом. Вероятности указанных гипотез составляют

Из условия задачи следует, что

Найдем , т. е. вероятность того, что подшипник, оказавшийся нестандартным, изготовлен 1-м заводом. По формуле Бейеса имеем

Таким образом, вероятность гипотезы, что подшипник изготовлен 1-м заводом, изменилась после того, как стало известно, что он нестандартен.

Пример 1.12. Команда стрелков состоит из человек. из ни попадают в цель с вероятностью , а двое - с вероятностью . Наудачу из команды берется стрелок и производит выстрел.

а). Какова вероятность того, что стрелок попадет.

б). Если стрелок попал в цель, то какова вероятность, что это один из трех (один из двух).

Решение.

а). Событие (попадание стрелком в цель) может произойти, если произойдет одно из несовместных событий: - наудачу взятый стрелок один из трех, - наудачу взятый стрелок один из двух. Для определения вероятности события воспользуемся формулой (17):

б). По формуле (18):

Или .