Iii. Оптимальная линейная фильтрация полезного сигнала с постоянным приращением

Пусть разностное уравнение для неслучайного полезного сигнала имеет следующий вид:

, (3.1)

где - скорость изменения сигнала;

- интервал дискретизации.

Разностному уравнению соответствует модель полезного сигнала в виде следующего полинома первого порядка:

, (3.2)

где , - некоторые параметры неслучайного полезного сигнала (начальное значение, скорость изменения).

Оценивание методом МНК

Параметры , должны быть оценены по результатам измерений , . В соответствии с методом МНК минимизируемый критерий в данном случае запишется следующим образом:

. (3.3)

В качестве оценок МНК будем использовать те значения параметров модели полезного сигнала и , для которых записанный критерий оптимальности принимает минимальное значение или производные критерия оптимальности равны нулю:

; (3.4)

. (3.5)

В результате применения операции дифференцирования по оцениваемым параметрам получим:

;

.

После выполнения операции суммирования с точностью до несущественных постоянных множителей получим:

;

.

Таким образом, получена система двух линейных уравнений относительно искомых параметров и . Решение системы имеет следующий вид:

;

.

Учтем следующие выражения:

; .

В этом случае оптимальные оценки параметров полезного сигнала методом МНК примут следующий окончательный вид:

; (3.6)

, (3.7)

где ;

.

Соответственно, оценка сигнала на момент последнего измерения запишется следующим образом:

, (3.8)

где .

Экстраполированное значение оценки сигнала на один дискрет времени вперед определяется выражением:

, (3.9)

где .

Дисперсии полученных оценок скорости , фильтрованного и экстраполированного сигналов с учетом некоррелированности шумов наблюдения в различных дискретах времени запишутся в виде:

,

, (3.10)

.

Оценивание методом рекуррентной фильтрации

Рекуррентные уравнения оптимальной фильтрации могут быть получены в результате взвешенного суммирования экстраполированного значения оцениваемого сигнала с текущим рассогласованием:

, (3.11)

где - коэффициент фильтрации по положению сигнала.

Вес текущего рассогласования стремится к нулю, если экстраполированная оценка является идеальной ( ), и стремится к единице, если дееальным является текущий входной сигнал ( ). В последнем случае выражение (3.11) принимает вырожденный вид: .

Результирующие уравнения оптимальной дискретной линейной фильтрации имеют следующий рекуррентный вид:

, (3.12)

, (3.13)

, (3.14)

, (3.15)

,

,

где - экстраполированное значение измеряемого дискретного сигнала;

- коэффициент фильтрации по положению сигнала;

- измеренное значение скорости изменения дискретного сигнала;

- экстраполированное значение скорости изменения дискретного сигнала;

- коэффициент фильтрации по скорости сигнала.

Структурная схема оптимального линейного дискретного фильтра сигнала с постоянным приращением имеет следующий вид: рисунок 3.1.

В соответствии с рисунком 3.1 фильтр для фильтрации сигнала с постоянным приращением представляет собой дискретную следящую систему с двумя цифровыми интеграторами в разомкнутой цепи, измерением скорости приращения и переменными коэффициентами фильтрации контуров по положению и скорости.

По причине неслучайного сигнала коэффициенты фильтрации стремятся к нулю с течением времени, что приводит к размыканию обратных связей и накоплению ошибок, вызванных конечной разрядностью представления чисел. Этот недостаток устраняется использованием квазиоптимальных алгоритмов - фильтрации, для которых коэффициенты фильтрации не меняются во времени, а ошибка фильтрации минимизируется не для каждого отсчета, а только после окончания переходного процесса.

Рисунок 3.1 – структурная схема реккурентной оптимальной линейной фильтрации сигнала с постоянным приращением