Ii. Оптимальная линейная фильтрация неслучайного постоянного полезного сигнала

Пусть разностное уравнение для полезного сигнала имеет следующий вид:

. (2.1)

Таким образом, неизвестный полезный сигнал является неслучайным и постоянным. Такому разностному уравнению соответствует модель полезного сигнала в виде следующего полинома нулевого порядка:

,

где - некоторый параметр неслучайного постоянного полезного сигнала (начальное значение).

Известно, что оптимальная оценка постоянного дискретного сигнала на фоне дискретного белого шума в соответствии с методом МНК определяется выражением для оценки математического ожидания наблюдаемого случайного сигнала, которое минимизирует сумму квадратов ошибки :

. (2.2)

В самом деле, в соответствии с разностным уравнением для полезного сигнала (2.1) сумму квадратов ошибки можно записать в следующем виде, так как полезный сигнал не меняется от номера отсчета:

. (2.3)

Оптимальной оценкой полезного сигнала будет оценка, минимизирующая сумму квадратов ошибки (2.3) или обращающая в ноль ее производную по оцениваемому параметру:

(2.4)

или

,

.

Для получения реккурентного оптимального дискретного фильтра в данном частном случае проведем математические преобразования оптимальной оценки полезного сигнала методом МНК (2.2).

. (2.5)

Учтем, что одно из последних слагаемых в выражении (2.5) включает в себя оптимальную оценку полезного сигнала в предыдущий момент времени :

. (2.6)

С учетом выражения (2.6) выражение (2.2) можно записать следующим образом:

. (2.7)

Таким образом, получено реккурентное выражение для оптимальной оценки дискретного постоянного полезного сигнала:

. (2.8)

Под реккурентной оценкой понимается такая оценка, которая позволяет уточнить предшествующую оценку с учетом нового измерения дееюдаемого сигнала.

Выражение (2.8) может быть также записано и в следующем виде:

, (2.9)

, (2.10)

,

где - экстраполированное (предсказанное) значение измеряемого постоянного дискретного сигнала;

- коэффициент фильтрации по положению постоянного сигнала.

Рисунок 2.1 – структурная схема реккурентной оптимальной линейной фильтрации постоянного сигнала

Структурная схема оптимального линейного дискретного фильтра постоянного сигнала имеет следующий вид: рисунок 2.1.

В соответствии с рисунком 2.1 оптимальный реккурентный фильтр для фильтрации постоянного сигнала представляет собой дискретную следящую систему с переменным коэффициентом фильтрации и цифровым интегратором в разомкнутой цепи.

Особенностью переменного коэффициента фильтрации для неслучайного постоянного полезного сигнала является его стремление к нулю с течением времени. Это являетя недостатком такого фильтра, так как обратная связь размыкается и накапливаются ошибки, обусловленные конечной разрядностью цифровых фильтров. Этот недостаток устраняется использованием квазиоптимальных алгоритмов - фильтрации, для которых коэффициент фильтрации не меняется во времени, а ошибка фильтрации минимизируется не для каждого отсчета, а только после окончания переходного процесса.