Функциональные последовательности
О п р е д е л е н и е 1. Функциональной последовательностью называется бесконечная последовательность
(1)
элементами которой являются функции одной и той же переменной , определенные на общей области
О п р е д е л е н и е 2. Если при любом ф и к с и р о в а н н о м существует конечный предел
, (2)
то есть
, (3)
то функция называется предельной функцией для функциональной последовательности (1).
З а м е ч а н и е 1.Предел (2) представляет собой функцию переменной , определенную на области
. В формуле (3) номер
существенно зависит от
и меняется при переходе от одного значения
к другому, принимая в общем случае бесконечное множество значений.
Поэтому естественно встает следующий вопрос: существует ли такой номер , который при заданном числе
будет пригодным для в с е х
. Ответ на поставленный вопрос, оказывается, может быть и «да», и «нет» в зависимости от рассматриваемых функций (1).
О п р е д е л е н и е 3. Говорят, что функциональная последовательность (1) сходится равномерно в области к своей предельной функции
(пишут
), если существует предел (2) и выполняется условие:
(4)
Если предел (2) существует, но условие (4) не выполнено, то говорят, что последовательность (1) сходится неравномерно в области (или просто сходится) к функции
.
Пишут:
Т е о р е м а 1 (условие равномерной сходимости функциональной последовательности). Для того чтобы последовательность (1) имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно в области
, необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого числа
нашелся такой номер
, зависящий от
что для всех
и при любом натуральном числе
выполнялось неравенство:
2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ
О п р е д е л е н и е 4. Выражение вида
, (5)
где некоторая последовательность функций переменной
, определенных в области
, называется функциональным рядом и условно обозначается символом:
З а м е ч а н и е 2.При каждом фиксированном функциональный ряд (5) превращается в числовой ряд
,
который, может оказаться, при одних сходится, при других – расходится.
О п р е д е л е н и е 5.Функция вида
(6)
называется й частичной суммой ряда (5).
О п р е д е л е н и е 6. Говорят, что ряд (5) сходится в точке , если существует конечный предел
(7)
называемый суммой ряда (5) в точке .
О п р е д е л е н и е 7.Остатком порядка ряда (5) в точке
называется функция вида
(8)
З а м е ч а н и е 3. Справедливо следующее свойство: если ряд (5) сходится в точке к числу
то при
остаток ряда
стремится к нулю в точке
, то есть
О п р е д е л е н и е 8.Множество всех точек
при которых ряд (5) сходится, называется областью сходимостиряда (5).
З а м е ч а н и е 4. В частных случаях область сходимости функционального ряда может быть пустым множеством, может принадлежать или может совпадать с
.
З а м е ч а н и е 5. Области определения функций и
вида (7) и (8) совпадают с
областью сходимости ряда (5).