Гармонический ряд. ряд дирихле
О п р е д е л е н и е 11. Числовой ряд вида
(10)
называется гармоническим рядом.
О п р е д е л е н и е 12. Числовой ряд вида
где 
(11)
называется рядом Дирихле (или обобщенным гармоническим рядом).
З а м е ч а н и е 7.Ряд (10) можно рассматривать как частный случай ряда (11) при 
Т е о р е м а 5. Ряд Дирихле (11) сходится при 
и расходится при 
З а м е ч а н и е 4.Ряд (11), где 
также является расходящимся. Но в этом случае для него не выполнено необходимое условие сходимости, так как
Поэтому числовой ряд (11) сходится при и расходится при 
ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
Т е о р е м а 6 (первый признак сравнения). Пусть члены положительных рядов
(12)
(13)
удовлетворяют неравенству:
(14)
Тогда: если ряд (13) сходится, то сходится ряд (12); если ряд (12) расходится, то расходится ряд (13).
З а м е ч а н и е 9.Теорема 6 сохраняет силу, если условие (14) будет выполнено, начиная с некоторого номера 
(так как отбрасывание или приписывание к ряду любого конечного числа первых членов не меняет характер сходимости ряда).
Т е о р е м а 7(второй признак сравнения). Пусть члены положительных рядов (12) и (13) таковы, что существует конечный предел
(15)
Тогда ряды (12) и (13) эквивалентны с точки зрения сходимости, то есть сходятся или расходятся одновременно.
З а м е ч а н и е 10. Для сравнения с данным рядом во многих случаях целесообразно в качестве второго ряда выбирать ряд Дирихле 
который сходится, если 
и расходится, если 
ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА
Т е о р е м а 8(признак Даламбера). Пусть для положительного ряда (7) существует конечный предел
(16)
Тогда при 
ряд (7) сходится, при 
ряд (7) расходится. При 
вопрос о сходимости или расходимости ряда (7) остается нерешенным.
З а м е ч а н и е 11. Если
То, как и в случае 
ряд (7) расходится.
РАДИКАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ
Т е о р е м а 9(радикальный признак Коши). Пусть для положительного ряда (7) существует конечный предел
(17)
Тогда при ряд (7) сходится; при ряд (7) расходится; при 
вопрос о сходимости ряда (7) остается нерешенным.
З а м е ч а н и е 12. Если 
то, как и при ряд (7) расходится.
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Указать седьмой член последовательности
.
Р е ш е н и е. Нетрудно видеть, что общий член рассматриваемой последовательности задается формулой: 
. Придавая числу 
разные значения из множества натуральных чисел, находим члены последовательности. Например,
, 
, 
.
О т в е т: 
.
Пример 2. Найти общий член последовательности
. (18)
Указать ее 18-й член.
Решение. Заметим, что числители дробей (7)образуют арифметическую прогрессию 
, у которой первый член 
и разность 
.
Поэтому -й член последовательности нечетных натуральных чисел находим по формуле:
.
Знаменатели дробей (18) образуют геометрическую прогрессию 
, у которой -й член вычисляется по формуле 
. Следовательно, общий член последовательности (18) задается формулой: 
. Поэтому заключаем: 
.
Ответ: 
П р и м е р 3. Найти общий член ряда:
Р е ш е н и е. Показатель степени каждого члена совпадает с номером этого члена, поэтому показатель 
го члена равен 
Числители дробей 
образуют арифметическую прогрессию, где 
и 
Поэтому й числитель равен 
Знаменатели указанных дробей образуют арифметическую прогрессию с 
и 
поэтому й знаменатель равен 
Тогда общим членом ряда является 
О т в е т: 
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд:
. (19)
Р е ш е н и е. Для ряда (19) имеем:
,
Следовательно, 
я частичная сумма ряда (8) вычисляется по формуле:
Поэтому 
Значит, ряд (19) сходится и его сумма 
.
О т в е т: сходится, .
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
. (20)
Р е ш е н и е. Найдем для него ю частичную сумму:
Следовательно, 
Поэтому ряд (20) расходится.
О т в е т: расходится.
Пример 6. Исследовать на сходимость положительный ряд
. . (21)
Решение. В данном случае общий член ряда задается формулой 
, откуда находим:
Следовательно, нарушено необходимое условие сходимости ряда и по замечанию 2 ряд (21) расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 7. Исследовать сходимость рядов: 
Решение. 
В этом случае ряд составлен из членов геометрической прогрессии, где 
и 
. Так как 
, то по теореме 2 ряд сходится и его сумма вычисляется по формуле: 
.
В этом случае ряд составлен из членов геометрической прогрессии, где 
и 
. Так как 
, то по теореме 2 ряд расходится.
Ответ: сходится, 
; расходится.
Пример 8. Исследовать сходимость ряда
. (22)
Решение. Рассмотрим вспомогательный числовой ряд
, (23)
полученный из ряда (22) отбрасыванием первых трех членов. Видим, что ряд (23) составлен из членов геометрической прогрессии 
с первым членом 
и знаменателем 
, значит, 
. Следовательно, по теореме 2 ряд (23) сходится и имеет сумму
.
Поэтому, воспользовавшись свойством 2, получаем: ряд (11) сходится и его сумма равна числу:
.
Ответ: сходится, 
.
П р и м е р 9. Найти сумму ряда 
Р е ш е н и е. Заметим, что для любого натурального числа 
справедливо равенство:
Применим эту формулу для вычисления частичной суммы 
Следовательно, 
О т в е т: 
П р и м е р 10. Исследовать сходимость ряда: 
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию 
при 
Она непрерывна на 
положительна и монотонно убывает ( 
Поэтому интегральный признак Коши применим к рассматриваемому ряду.
Вычислим интеграл:
Итак, по интегральному признаку Коши из расходимости интеграла следует расходимость изучаемого в примере ряда.
О т в е т: расходится.
П р и м е р 11. Исследовать сходимость ряда: 
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию 
, 
Она непрерывна при 
положительна, монотонно убывает (так как 
Вычислим интеграл:
Следовательно, несобственный интеграл 
сходится. Значит, по интегральному признаку Коши сходится рассматриваемый в примере ряд.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 12. Исследовать на сходимость ряды:
а) 
б) 
Р е ш е н и е. Ряд а) совпадает со следующим: 
. Он расходится как ряд Дирихле с показателем 
Ряд б) совпадает со следующим: 
. Он сходится как ряд Дирихле с показателем 
О т в е т: а) расходится; б) сходится.
П р и м е р 13. Исследовать сходимость ряда: 
Р е ш е н и е. Общий член данного ряда задается формулой: 
Рассмотрим вспомогательный ряд 
с общим членом 
Нетрудно видеть, что 
так как
Значит, вспомогательный ряд сходится как ряд Дирихле с показателем Следовательно, по первому признаку сравнения положительных рядов следует сходимость исходного ряда.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 14. Исследовать на сходимость ряд: 
Р е ш е н и е. В данном случае 
Рассмотрим вспомогательный ряд 
, для которого 
Так как 
то есть 
. Следовательно, выполнены условия первого признака сравнения рядов.
Известно, что выбранный вспомогательный ряд - ряд Дирихле с показателем 
Следовательно, он сходится. Тогда по первому признаку сравнения будет сходиться и данный в примере ряд.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 15. Исследовать на сходимость ряд:
(24)
Р е ш е н и е. Для сравнения с рядом (24) возьмем расходящийся гармонический ряд 
На рис. 1 даны графики функций 
и 
Очевидно, что 
в частности, при 
, где 
. Тогда 
откуда заключаем: 
у
у=х
у=lnx
1
О 1 е х
Рис. 1
Следовательно, по первому признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда (24).
О т в е т: расходится.
П р и м е р 16. Исследовать сходимость ряда: 
Р е ш е н и е. Применим второй признак сравнения, рассмотрев дополнительно гармонический ряд. Тогда 
, откуда получаем
Следовательно, учитывая, что гармонический ряд расходится, расходящимся является рассматриваемый в примере ряд.
О т в е т: расходится.
П р и м е р 17. Исследовать сходимость ряда:
(25)
Р е ш е н и е. Заметим, что для ряда (25) общий член при больших значениях числа 
удовлетворяет приближенному равенству:
.
Поэтому для сравнения с рядом (25) возьмем ряд Дирихле с показателем 
а значит, сходящийся. Его общий член задается формулой: 
Вычислим предел:
Следовательно, по второму признаку сравнения ряд (26) сходится.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 18. Исследовать сходимость ряда: 
Р е ш е н и е. Напомним, что 
Для данного ряда 
и 
.
Вычислим предел:
Следовательно, исходный ряд расходится по признаку Даламбера.
О т в е т: расходится.
П р и м е р 19. Исследовать сходимость ряда: 
Р е ш е н и е. Для данного ряда 
и 
. Поэтому получаем:
Следовательно, учитывая, что 
то по признаку Даламбера заключаем: рассматриваемый ряд сходится.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 20. Исследовать на сходимость ряд:
где 
.
Р е ш е н и е. В данном случае 
Поэтому получаем:
Следовательно, воспользовавшись признаком Даламбера, где 
заключаем: ряд сходится.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 21. Исследовать на сходимость ряд: 
Р е ш е н и е. В данном случае 
Поэтому получаем:
Следовательно, по признаку Даламбера ряд расходится, так как 
О т в е т: расходится.
П р и м е р 22.Исследовать сходимость ряда: 
Р е ш е н и е. Для данного ряда 
. Вычислим предел:
Следовательно, так как 
, то по радикальному признаку Коши изучаемый в примере ряд сходится.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 23. Исследовать сходимость ряда: 
Р е ш е н и е. В данном случае
, откуда 
Вычислим предел: 
Следовательно, по радикальному признаку Коши рассматриваемый в примере ряд расходится.
О т в е т: расходится.
ПРИМЕРЫ
Найти общий член ряда:
1. 
.2. 
.3. 
.
4. 
.5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Исследовать на сходимость, исходя из определения, и найти сумму:
9. 
10. 
11. 
12. 
Проверить выполнение необходимого условия сходимости ряда:
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
Исследовать на сходимость по интегральному признаку Коши:
29. 30. 
31. 32. 33. 34.
35. 36. 37. 38. 39. 
40. 41. 42. 
43. 44.
Исследовать ряды на сходимость по признакам сравнения:
45. 
46. 
47. 
48. 
49. 
50. 
51. 
52. 
53. 
54. 
55. 
56. 
57. 
58. 
59. 
60. 
61. 
Исследовать ряды на сходимость по признаку Даламбера:
62. 
63. 
64. 
65. 
66. 
67. 
68. 
69. 
70. 
71. 
72. 
73. 
74. 
75. 
76. 
Исследовать сходимость рядов с помощью радикального признака Коши:
77. 
78. 
79. 
80. 
81. 
82. 
83. 
84. 
ОТВЕТЫ
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9.сходится; 
10.сходится; 
11.сходится; 
12.сходится; 
13.выполняется. 14. выполняется. 15. выполняется.
16. выполняется. 17.выполняется. 18.невыполняется, расходится.
19. выполняется. 20. выполняется.21. не выполняется, расходится.
22. выполняется. 23. выполняется. 24. выполняется. 25. выполняется.
26. выполняется. 27. выполняется. 28.не выполняется, расходится.
29.расходится. 30.сходится. 31.расходится. 32.расходится.
33.сходится. 34.расходится. 35.расходится. 36.сходится.
37. расходится. 38.расходится. 39.сходится. 40.расходится.
41.сходится. 42.сходится. 43.расходится. 44.расходится.
45.сходится. 46.расходится. 47.расходится. 48.расходится.
49.расходится. 50.сходится. 51. сходится. 52.сходится.
53.сходится. 54.сходится. 55.расходится. 56.сходится.
57.расходится. 58.сходится. 59.расходится. 60.расходится.
61.сходится. 62.расходится. 63.сходится. 64.сходится.
65.сходится. 66.сходится. 67.сходится. 68.расходится.
69.сходится. 70.сходится. 71.сходится. 72.сходится.
73.расходится. 74.сходится. 75.сходится. 76.расходится.
77.сходится. 78.расходится. 79.сходится. 80.расходится.
81.сходится. 82.расходится. 83.сходится. 84.сходится.