Координатные свойства векторов
1.Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.
2.При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число.
Доказательство свойства 1. Пусть в базисе { 
1, 2, 3 } имеем 
( 
) и 
( 
). Рассмотрим + = ( 
1+ 
2+ 
3) + ( 
1+ 
2+ 
3). Воспользовавшись свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, раскрываем скобки и группируем слагаемые по базисным векторам. При этом получим
+ = ( + ) 1 + ( + ) 2 + ( + ) 3.
Следовательно, + ( + , + , + ).
Свойство доказано.
Доказательство свойства 2. Пусть в базисе { 1, 2, 3 } имеем ( ) и некоторое число l. Если l = 0, то l = 
и l = 0, l = 0, l = 0. Свойство 2 справедливо. Если l ¹ 0, то имеем:
l = l ( 1+ 2+ 3) = l 1+ l 2+ l 3,
то есть
l ( l , l , l ).
Свойство доказано.
Замечание. Доказанное свойство 1 можно доказать и для любого конечного числа слагаемых.
При решении задач, связанных с вычислением длин векторов, величины углов мы будем пользоваться так называемым ортонормированным базисом. Этот базис мы обозначаем { 
}, и при этом выполняются следующие условия: длины векторов равны единице, сами векторы попарно перпендикулярны и образуют так называемую правую тройку (см. § 6 ).
Теорема 4. Пусть в базисе { } задан вектор ( ). Тогда
| | = 
.
Доказательство. Согласно теореме 3 имеем единственное разложение
= 
+ 
+ 
.
Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: 
= , 
= , 
= , 
= + + . При этом получим прямоугольный параллелепипед с ребрами ОА, ОВ, ОС и диагональю ОМ, |OA| =| |, |OB| =| |, |ОС| = | |,
|OM| = 
= .
Теорема доказана.
Пример1.
Дан ортонормированный базис 
В этом базисе задан вектор 
Найти координаты вектора 
, который коллинеарен вектору 
и имеет длину, равную 5.
Решение. Из коллинеарности векторов и следует, что существует единственное число a ¹ 0, такое что 
. Так как (–1; -2; 2), то координаты вектора будут соответственно равны 
( 
)
Из условия, что длина вектора равна 5, получаем следующее равенство: 
, откуда
9 
2 =25, 2 = 
, 
или 
.
Последнее означает, что задача имеет два решения:
, 
.
Пример 2.
Треугольник АВС построен на векторах 
(0,-3,4) и
(2,-1,2) в ортонормированном базисе .
Найти координаты вектора, параллельного биссектрисе угла ВАС.
Решение.
Построим вектора 
и 
такие, что: 
и 
, причем 
. На данных векторах построим ромб 
. Диагональ AD ромба лежит на биссектрисе угла 
. Следовательно, вектор 
параллелен биссектрисе угла 
и, при этом, = + (1).
Из построения векторов и получаем следующие равенства:
= 
и = 
.
Из последних равенств и равенства (1) следует, что
= 
+ 
.
Так как 
и 
, то
=5 
+3 ,
откуда
(10;−14;22).
Так как вектор параллелен биссектрисе угла , то и вектор 
(5,−7,11) будет параллельным этой биссектрисе. Любой другой вектор 
, параллельный биссектрисе угла , будет иметь координаты
где 
Таким образом, решением является вектор где
Пример 3.
Дан параллелепипед 
. Точки 
и 
- середины соответственно ребер 
и 
. В качестве базисных векторов взяты векторы 
, 
, 
. Найти координаты векторов 
, 
и 
в данном базисе.
Решение.
1) 
(1), 
(2),
, откуда 
(3).
Из равенств (1), (2), (3) следует, что 
.
Используя свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов, получаем следующее равенство: 
.
Следовательно, 
.
2) 
, откуда получаем: 
.
3) 
(1), 
, откуда 
(2),
, откуда (3).
Из равенств (1), (2) и (3) имеем: 
.
Следовательно, 
, откуда 
.