Координатные свойства векторов
1.Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.
2.При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число.
Доказательство свойства 1. Пусть в базисе { 1,
2,
3 } имеем
(
) и
(
). Рассмотрим
+
= (
1+
2+
3) + (
1+
2+
3). Воспользовавшись свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, раскрываем скобки и группируем слагаемые по базисным векторам. При этом получим
+
= (
+
)
1 + (
+
)
2 + (
+
)
3.
Следовательно, +
(
+
,
+
,
+
).
Свойство доказано.
Доказательство свойства 2. Пусть в базисе { 1,
2,
3 } имеем
(
) и некоторое число l. Если l = 0, то l
=
и l
= 0, l
= 0, l
= 0. Свойство 2 справедливо. Если l ¹ 0, то имеем:
l = l (
1+
2+
3) = l
1+ l
2+ l
3,
то есть
l ( l
, l
, l
).
Свойство доказано.
Замечание. Доказанное свойство 1 можно доказать и для любого конечного числа слагаемых.
При решении задач, связанных с вычислением длин векторов, величины углов мы будем пользоваться так называемым ортонормированным базисом. Этот базис мы обозначаем { }, и при этом выполняются следующие условия: длины векторов
равны единице, сами векторы попарно перпендикулярны и образуют так называемую правую тройку (см. § 6 ).
Теорема 4. Пусть в базисе { } задан вектор
(
). Тогда
| | =
.
Доказательство. Согласно теореме 3 имеем единственное разложение
=
+
+
.
Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: =
,
=
,
=
,
=
+
+
. При этом получим прямоугольный параллелепипед с ребрами ОА, ОВ, ОС и диагональю ОМ, |OA| =|
|, |OB| =|
|, |ОС| = |
|,
|OM| = =
.
Теорема доказана.
Пример1.
Дан ортонормированный базис В этом базисе задан вектор
Найти координаты вектора
, который коллинеарен вектору
и имеет длину, равную 5.
Решение. Из коллинеарности векторов и
следует, что существует единственное число a ¹ 0, такое что
. Так как
(–1; -2; 2), то координаты вектора
будут соответственно равны
(
)
Из условия, что длина вектора равна 5, получаем следующее равенство:
, откуда
9 2 =25,
2 =
,
или
.
Последнее означает, что задача имеет два решения:
,
.
Пример 2.
Треугольник АВС построен на векторах (0,-3,4) и
(2,-1,2) в ортонормированном базисе
.
Найти координаты вектора, параллельного биссектрисе угла ВАС.
Решение.
Построим вектора и
такие, что:
и
, причем
. На данных векторах построим ромб
. Диагональ AD ромба
лежит на биссектрисе угла
. Следовательно, вектор
параллелен биссектрисе угла
и, при этом,
=
+
(1).
Из построения векторов и
получаем следующие равенства:
=
и
=
.
Из последних равенств и равенства (1) следует, что
=
+
.
Так как и
, то
=5
+3
,
откуда
(10;−14;22).
Так как вектор параллелен биссектрисе угла
, то и вектор
(5,−7,11) будет параллельным этой биссектрисе. Любой другой вектор
, параллельный биссектрисе угла
, будет иметь координаты
где
Таким образом, решением является вектор
где
Пример 3.
Дан параллелепипед . Точки
и
- середины соответственно ребер
и
. В качестве базисных векторов взяты векторы
,
,
. Найти координаты векторов
,
и
в данном базисе.
Решение.
1) (1),
(2),
, откуда
(3).
Из равенств (1), (2), (3) следует, что .
Используя свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов, получаем следующее равенство: .
Следовательно, .
2) , откуда получаем:
.
3) (1),
, откуда
(2),
, откуда
(3).
Из равенств (1), (2) и (3) имеем: .
Следовательно, , откуда
.