Свойства операции умножения вектора на число
1. 1× =
, -1×
= -
.
2. a×(b× ) = (a×b)×
.
3. a×( +
) = a×
+ a×
.
4. (a + b)× = a×
+ b×
.
Для доказательства свойств воспользуемся простым фактом: два вектора равны, если равны их длины и они сонаправлены.
Доказательство свойства1. 1). Если =
, то по определению операции умножения вектора на число получим, что правый вектор и левый вектор нулевые. Следовательно, равенство верно.
2). Покажем, что 1× =
. Рассмотрим вектор 1×
. Его длина, согласно определению 1, равна |1×
| = |1| ×|
| = |
|. С другой стороны, длина вектора
так же равна |
|. Следовательно, длины рассматриваемых векторов равны. Так как мы умножаем вектор
на положительное число 1, то 1×
. Рассматриваемые вектора 1×
и
имеют одинаковую длину и одно направление. Следовательно, они равны. Вторая часть свойства 1 также верна, так как длины рассматриваемых векторов равны |-1×
| = |-1| ×|
| = |
| и |-
|= |
|, и их направления одинаковы: -1×
¯
, -
¯
- то есть, они противоположно направлены одному и тому же вектору.
Свойство 1 доказано.
Доказательство свойства 2. Покажем, что a×(b× ) = (a×b)×
. (1)
Для этого рассмотрим несколько случаев. 1). Пусть одно из чисел a или b равно нулю. Тогда по определению операции умножения вектора на число получаем, что и левый вектор и правый вектор равны нулевому вектору, то есть равенство (1) верно. Аналогично, если =
, то равенство (1) также верно.
2). Пусть числа a и b - одного знака. Например, они отрицательные. Тогда b× ¯
, a×(b×
) ¯ b×
. Следовательно, a×(b×
)
.
С другой стороны, (a×b)×
, так как a×b > 0.
Таким образом, a×(b× ) (a×b)×
.
Для длин рассматриваемых векторов, независимо от знаков рассматриваемых чисел a и b, в силу определения операции умножения вектора на число, имеем:
|a×(b× )| = |a|×|(b×
)| = |a|×|b|×|
|,
|(a×b)× | = |a×b|×|
| = |a|×|b|×|
|.
Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно.
Аналогично рассмотреть случай, когда числа a и b - положительные.
3). Пусть числа a и b - разного знака. Например, a > 0 , b < 0. Тогда
b× ¯
, a×(b×
) b×
. Следовательно, a×(b×
)¯
.
С другой стороны, (a×b)× ¯
, так как a×b < 0.
Таким образом, a×(b× ) (a×b)×
.
Аналогично рассмотреть случай, когда числа a < 0 и b > 0.
Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно и в этом случае. Свойство 2 доказано.
Доказательство свойства 3: a×( +
) = a×
+ a×
. Если a = 0 или хотя бы один из векторов нулевой, то свойство (3), очевидно, выполняется. Поэтому рассматриваем ненулевые варианты. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем вектор
=
, а от точки А откладываем вектор
=
. При этом получили
+
=
. Итак,
=
+
. Рассмотрим гомотетию с центром О и коэффициентом a. Пока считаем, что a > 0.
Пусть при рассматриваемой гомотетии:
Тогда треугольники ОАВ и ОА`В` имеют попарно параллельные стороны.
При этом = a
,
= a
,
= a
= a (
+
) и
+
=
. Отсюда получаем равенство
a×( +
) = a×
+ a×
.
Если a < 0, то сначала рассмотрим равенство
|a|×( +
) = |a|×
+| a|×
,
а затем умножив обе части этого равенства на ( - 1), получим:
-|a|×( +
) = -|a|×
-| a|×
или
a×( +
) = a×
+ a×
.
Свойство 3 доказано.
Доказательство свойства 4: (a + b)× = a×
+ b×
.
Доказательство распадается на несколько отдельных случаев. 1) a > 0 и b > 0. В этом случае a× b×
и равенство (a + b)×
= a×
+ b×
- верно.
2) Если a < 0 и b < 0, то, в силу первого случая, будет верным следующее равенство
(|a| + |b|)× =|a|×
+ |b|×
.
Умножая это равенство на (-1) получим равенство
(-|a|- |b|)× = - |a|×
- |b|×
,
а, следовательно, и равенство
(a + b)× =a×
+ b×
.
3) Здесь мы должны рассмотреть случай, когда a и b разных знаков. При этом можно считать, что a > 0, а b < 0. Но мы должны учесть два различных случая: a > |b| и a < |b| .
Рассмотрим, например, случай a > |b|. Тогда a + b > 0. Очевидно числовое равенство a + b + |b| = a. Согласно первому случаю, выполняется равенство
((a + b)+|b|) × = (a + b)×
+ |b|×
или
a × = (a + b)×
+ |b|×
.
Отсюда получим
(a + b)× = a×
− |b|×
,
а, следовательно, и равенство
(a + b)× = a×
+ b×
.
Аналогично рассматривается случай a < |b|.
Свойство 4 доказано.
Пример 1. Дан треугольник АВС и произвольная точка О пространства. М – точка пересечения медиан треугольника АВС (ее называют центром тяжести треугольника). Доказать, что .
Доказательство. Рассмотрим медиану АК треугольника АВС.
Тогда, в силу свойств медианы имеем: . С другой стороны,
,
,
,
.
Следовательно, .
Находим:
(
.
.
Пример 2.В трапеции АВСD с основаниями ВС и AD точки M и N являются серединами оснований, точка О – точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны. Доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой.
Решение. Рассмотрим векторы и
. Для того , чтобы доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой достаточно доказать, что
||
.
|
|
|
|
![Свойства операции умножения вектора на число Свойства операции умножения вектора на число - student2.ru](/images/matematika/svoystva-operacii-umnozheniya-vektora-na-chislo-533572-168.gif)
![Свойства операции умножения вектора на число Свойства операции умножения вектора на число - student2.ru](/images/matematika/svoystva-operacii-umnozheniya-vektora-na-chislo-533572-169.gif)
![Свойства операции умножения вектора на число Свойства операции умножения вектора на число - student2.ru](/images/matematika/svoystva-operacii-umnozheniya-vektora-na-chislo-533572-170.gif)
|
![Свойства операции умножения вектора на число Свойства операции умножения вектора на число - student2.ru](/images/matematika/svoystva-operacii-umnozheniya-vektora-na-chislo-533572-172.gif)
|
![Свойства операции умножения вектора на число Свойства операции умножения вектора на число - student2.ru](/images/matematika/svoystva-operacii-umnozheniya-vektora-na-chislo-533572-174.gif)
|
![Свойства операции умножения вектора на число Свойства операции умножения вектора на число - student2.ru](/images/matematika/svoystva-operacii-umnozheniya-vektora-na-chislo-533572-176.gif)
![Свойства операции умножения вектора на число Свойства операции умножения вектора на число - student2.ru](/images/matematika/svoystva-operacii-umnozheniya-vektora-na-chislo-533572-177.gif)
(3) и
(4).
Из равенств (2), (3) и (4) получаем следующее равенство:
. Следовательно,
, откуда
, а это означает, что точки O, M, N лежат на одной прямой.