Свойства операции умножения вектора на число
1. 1× 
= , -1× = - .
2. a×(b× ) = (a×b)× .
3. a×( + 
) = a× + a× .
4. (a + b)× = a× + b× .
Для доказательства свойств воспользуемся простым фактом: два вектора равны, если равны их длины и они сонаправлены.
Доказательство свойства1. 1). Если = 
, то по определению операции умножения вектора на число получим, что правый вектор и левый вектор нулевые. Следовательно, равенство верно.
2). Покажем, что 1× = . Рассмотрим вектор 1× . Его длина, согласно определению 1, равна |1× | = |1| ×| | = | |. С другой стороны, длина вектора так же равна | |. Следовательно, длины рассматриваемых векторов равны. Так как мы умножаем вектор на положительное число 1, то 1× . Рассматриваемые вектора 1× и имеют одинаковую длину и одно направление. Следовательно, они равны. Вторая часть свойства 1 также верна, так как длины рассматриваемых векторов равны |-1× | = |-1| ×| | = | | и |- |= | |, и их направления одинаковы: -1× ¯ , - ¯ - то есть, они противоположно направлены одному и тому же вектору.
Свойство 1 доказано.
Доказательство свойства 2. Покажем, что a×(b× ) = (a×b)× . (1)
Для этого рассмотрим несколько случаев. 1). Пусть одно из чисел a или b равно нулю. Тогда по определению операции умножения вектора на число получаем, что и левый вектор и правый вектор равны нулевому вектору, то есть равенство (1) верно. Аналогично, если = , то равенство (1) также верно.
2). Пусть числа a и b - одного знака. Например, они отрицательные. Тогда b× ¯ , a×(b× ) ¯ b× . Следовательно, a×(b× ) .
С другой стороны, (a×b)× , так как a×b > 0.
Таким образом, a×(b× ) (a×b)× .
Для длин рассматриваемых векторов, независимо от знаков рассматриваемых чисел a и b, в силу определения операции умножения вектора на число, имеем:
|a×(b× )| = |a|×|(b× )| = |a|×|b|×| |,
|(a×b)× | = |a×b|×| | = |a|×|b|×| |.
Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно.
Аналогично рассмотреть случай, когда числа a и b - положительные.
3). Пусть числа a и b - разного знака. Например, a > 0 , b < 0. Тогда
b× ¯ , a×(b× ) b× . Следовательно, a×(b× )¯ .
С другой стороны, (a×b)× ¯ , так как a×b < 0.
Таким образом, a×(b× ) (a×b)× .
Аналогично рассмотреть случай, когда числа a < 0 и b > 0.
Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно и в этом случае. Свойство 2 доказано.
Доказательство свойства 3: a×( + ) = a× + a× . Если a = 0 или хотя бы один из векторов нулевой, то свойство (3), очевидно, выполняется. Поэтому рассматриваем ненулевые варианты. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем вектор 
= , а от точки А откладываем вектор 
= . При этом получили + = 
. Итак, = + . Рассмотрим гомотетию с центром О и коэффициентом a. Пока считаем, что a > 0.
Пусть при рассматриваемой гомотетии: 
Тогда треугольники ОАВ и ОА`В` имеют попарно параллельные стороны.
При этом 
= a , 
= a , 
= a = a ( + ) и + = . Отсюда получаем равенство
a×( + ) = a× + a× .
Если a < 0, то сначала рассмотрим равенство
|a|×( + ) = |a|× +| a|× ,
а затем умножив обе части этого равенства на ( - 1), получим:
-|a|×( + ) = -|a|× -| a|×
или
a×( + ) = a× + a× .
Свойство 3 доказано.
Доказательство свойства 4: (a + b)× = a× + b× .
Доказательство распадается на несколько отдельных случаев. 1) a > 0 и b > 0. В этом случае a× b× и равенство (a + b)× = a× + b× - верно.
2) Если a < 0 и b < 0, то, в силу первого случая, будет верным следующее равенство
(|a| + |b|)× =|a|× + |b|× .
Умножая это равенство на (-1) получим равенство
(-|a|- |b|)× = - |a|× - |b|× ,
а, следовательно, и равенство
(a + b)× =a× + b× .
3) Здесь мы должны рассмотреть случай, когда a и b разных знаков. При этом можно считать, что a > 0, а b < 0. Но мы должны учесть два различных случая: a > |b| и a < |b| .
Рассмотрим, например, случай a > |b|. Тогда a + b > 0. Очевидно числовое равенство a + b + |b| = a. Согласно первому случаю, выполняется равенство
((a + b)+|b|) × = (a + b)× + |b|×
или
a × = (a + b)× + |b|× .
Отсюда получим
(a + b)× = a× − |b|× ,
а, следовательно, и равенство
(a + b)× = a× + b× .
Аналогично рассматривается случай a < |b|.
Свойство 4 доказано.
Пример 1. Дан треугольник АВС и произвольная точка О пространства. М – точка пересечения медиан треугольника АВС (ее называют центром тяжести треугольника). Доказать, что 
.
Доказательство. Рассмотрим медиану АК треугольника АВС. 
Тогда, в силу свойств медианы имеем: 
. С другой стороны,
,
, 
, 
.
Следовательно, 
.
Находим: 
( 
.
.
Пример 2.В трапеции АВСD с основаниями ВС и AD точки M и N являются серединами оснований, точка О – точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны. Доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой.
Решение. Рассмотрим векторы 
и 
. Для того , чтобы доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой достаточно доказать, что || .
|
|
|
|
(1),
|
|
(2).
|
и 
с коэффициентом подобия k следует, что 
(3) и 
(4).
Из равенств (2), (3) и (4) получаем следующее равенство:
. Следовательно, 
, откуда 
, а это означает, что точки O, M, N лежат на одной прямой.