Резонансы в цепях синусоидального тока

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами
(резонанс напряжений)

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru Для цепи на рис.1 имеет место

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru

где

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru ; (1)
Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . (2)

В зависимости от соотношения величин Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru и Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , а следовательно,

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru

2. В цепи преобладает емкость, т.е. Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , а значит, Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.

3. Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru - случай резонанса напряжений (рис. 2,в).

Условие резонанса напряжений

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . (3)

При этом, как следует из (1) и (2), Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru .

При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.

Пусть, например, в цепи на рис. 1 Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . Тогда Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , и, соответственно, Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru .

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Действительно, в этом случае Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений LЭ и CЭ .

Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно записать

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . (4)

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru и Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru для цепи на рис. 1 при U=const.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , (5)

- и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru .

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , (6)

или с учетом (4) и (5) для Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru можно записать:

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . (7)

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru

Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами
(резонанс токов)

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru Для цепи рис. 4 имеем

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru ,

где

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru ; (8)
Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . (9)

В зависимости от соотношения величин Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru и Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru

В цепи преобладает индуктивность, т.е. Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , а следовательно, Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.

В цепи преобладает емкость, т.е. Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , а значит, Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б.

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru - случай резонанса токов (рис. 5,в).

Условие резонанса токов Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru или

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . (10)

При этом, как следует из (8) и (9), Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru Например, для цепи на рис. 6 имеем

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru

Поскольку в режиме резонанса мнимая часть Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru ,

откуда, в частности, находится резонансная частота.

Резонанс в сложной цепи

Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного сопротивления Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru или входной проводимости Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , определяет наличие у соответствующих этому условию уравнений относительно Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru нескольких вещественных корней, т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.

При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое выражение его входного реактивного сопротивления Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru или входной реактивной проводимости Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru следует представить в виде отношения двух полиномов по степеням Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , т.е. Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru или Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru . Тогда корни уравнения Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru дадут значения частот, которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru - значения частот, при которых возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной путем ее сведения к цепи (с помощью Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru эквивалентных преобразований) с минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов напряжений и токов чередуются.

В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение входного сопротивления данной цепи имеет вид

Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru

Из решения уравнения Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru получаем частоту Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , соответствующую резонансу напряжений, а из решения уравнения Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru - частоту Резонансы в цепях синусоидального тока - student2.ru , соответствующую резонансу токов.

Лекция N 9

Наши рекомендации