Системы дискретных случайных величин
Пара (X, Y) – где X и Y – случайные величины, называется системой двух случайных величин. Если X и Y – дискретные случайные величины, то законом распределения системы двух случайных величин (X, Y) является множество всех пар 
возможных значений величин X и Y и вероятностей 
их совместного появления. Такой закон удобно задавать в виде таблицы, которая носит название таблицы распределения двумерной случайной величины(X, Y).
События, состоящие в том, что случайная величина Х примет значение 
(i = 1, 2, …, n), а случайная величина Y примет значение 
(j = 1, 2, …, m), несовместны и единственно возможны, т.е. образуют полную группу попарно несовместных событий, поэтому сумма всех вероятностей таблицы равна единице: 
.
| Y | X | |||
| x1 | x2 | … | xn | |
| y1 | P(x1, y1) | P(x2, y2) | … | P(xn, y1) |
| … | … | … | … | … |
| ym | P(x1, ym) | P(x2, ym) | … | P(xn, ym) |
По закону распределения двумерной случайной величины (X, Y) можно найти законы распределения каждой случайной величины X и Y. Для того, чтобы найти вероятность 
того, что случайная величина Х примет значение 
, надо просуммировать вероятности столбца : 
. Аналогично, для того, чтобы найти вероятность 
того, что случайная величина Y примет значение 
, надо просуммировать вероятности строки : 
.
Вероятность 
— это вероятность того, что случайная величина Х примет значение , а случайная величина Y примет значение . Эту вероятность по теореме умножения вероятностей можно записать в виде: 
. Из этого равенства можно получить формулы:
, 
.
Функцией распределения системы двух случайных величин (X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств Х < х, Y < y:
.
Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при 
называется число, обозначаемое 
и вычисляемое по формуле:
.
Функцию 
, как функцию аргумента x, называют функцией регрессии Y на X.
Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Х при 
называется число, обозначаемое 
и вычисляемое по формуле:
.
Функцию 
, как функцию аргумента y, называют функцией регрессии X на Y.
Корреляционным моментом (или ковариацией) случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:
.
Корреляционный момент можно найти по формуле:
.
Для независимых случайных величин X и Y 
.
Для дискретных случайных величин X и Y корреляционный момент равен:
.
Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется безразмерная величина:
,
где 
, 
.
Свойства коэффициента корреляции
1. Коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление корреляционной связи.
2. 
;
3. Если Х и Y — независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен 0.
4. Если 
, то между величинами Х и Y имеет место функциональная зависимость, а именно, линейная. Отсюда следует, что коэффициент корреляции измеряет тесноту линейной связи между величинами Х и Y.
5. Если 
, то связь между величинами прямая (положительная корреляция), т.е. при увеличении значений одного признака значения другого признака увеличиваются. Если 
, то связь обратная (отрицательная корреляция), т.е. при увеличении значений одного признака значения другого признака уменьшаются.
6. Если 
, то корреляционная связь очень слабая;
если 
, то корреляционная связь слабая;
если 
, то корреляционная связь умеренная;
если 
, то корреляционная связь умеренная;
если 
, то корреляционная связь тесная или сильная.
Две случайные величины называются коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля, и некоррелированными, если он равен нулю.
При рассмотрении двумерной случайной величины (X, Y), где X и Y – зависимые случайные величины, используются различные приближения одной случайной величины с помощью другой. Важнейшим из них является линейное приближение.
Представим случайную величину Y в виде линейной функции величины Х:
,
где α и β – параметры, подлежащие определению. Если числа a и b подобраны так, что величина 
будет наименьшей, то числовая функция 
называется линейной средней квадратической регрессией Y на X. Нахождение такой прямой называют наилучшим приближением Y по методу наименьших квадратов. Коэффициент a называется коэффициентом регрессии Y на X. Известно, что
, 
.
Уравнение с учетом предыдущих формул можно записать в виде:
.
Аналогично, уравнение 
называется линейной средней квадратической регрессией X на Y записывается в виде:
,
где 
, 
.
Задача. Система дискретных случайных величин задана таблицей:
| X | ||||
| Y |
Найти:
1) корреляционный момент;
2) коэффициент корреляции;
3) функцию линейной регрессии Y на X;
4) функцию линейной регрессии X на Y.
Решение. 1) Корреляционный момент находится по формуле .
; 
;
;
.
2) По формуле .
;
; 
;
;
;
;
.
Коэффициент корреляции близок к единице, между случайными величинами существует тесная корреляционная зависимость.
3) Найдем коэффициенты функции регрессии Y на X:
;
.
Функция регрессии Y на X имеет вид: 
.
4) Найдем коэффициенты функции регрессии X на Y:
;
.
Функция регрессии X на Y имеет вид: 
.
Задания для контрольной работы
Слушатель выполняет те задачи, номера которых находятся в следующей таблице, в соответствии с последней цифрой номера зачетной книжки.
Таблица заданий контрольной работы
| Последняя цифра номера зачетной книжки | Номер задачи контрольной работы | |||||||
| 1.1 | 2.1 | 3.1 | 4.1 | 5.1 | 6.1 | 7.1 | 8.1 | |
| 1.2 | 2.2 | 3.2 | 4.2 | 5.2 | 6.2 | 7.2 | 8.2 | |
| 1.3 | 2.3 | 3.3 | 4.3 | 5.3 | 6.3 | 7.3 | 8.3 | |
| 1.4 | 2.4 | 3.4 | 4.4 | 5.4 | 6.4 | 7.4 | 8.4 | |
| 1.5 | 2.5 | 3.5 | 4.5 | 5.5 | 6.5 | 7.5 | 8.5 | |
| 1.6 | 2.6 | 3.6 | 4.6 | 5.6 | 6.6 | 7.6 | 8.6 | |
| 1.7 | 2.7 | 3.7 | 4.7 | 5.7 | 6.7 | 7.7 | 8.7 | |
| 1.8 | 2.8 | 3.8 | 4.8 | 5.8 | 6.8 | 7.8 | 8.8 | |
| 1.9 | 2.9 | 3.9 | 4.9 | 5.9 | 6.9 | 7.9 | 8.9 | |
| 1.10 | 2.10 | 3.10 | 4.10 | 5.10 | 6.10 | 7.10 | 8.10 |