Резистор (идеальное активное сопротивление).

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Здесь напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , поэтому мощность Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru всегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощность

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Поэтому в соответствии с (3) можно записать Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Участок 1-2: энергия Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает.

Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, возвращаясь в источник.

Конденсатор (идеальная емкость)

Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Поэтому из (3) вытекает, что Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=0), так как в них не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления ХL и ХС , в отличие от активного сопротивления R резистора, – реактивными.

Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью.

В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru (5)

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка- Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр).

В частности для катушки индуктивности имеем:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , так как Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Полная мощность

Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (6)

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (7)

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак,



Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (8)

Комплексная мощность

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , а Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Тогда комплекс полной мощности:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , (9)

где Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru - комплекс, сопряженный с комплексом Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. 4). Рис. 4 соответствует Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru (активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем:

.

Применение статических конденсаторов для повышения cos Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Как уже указывалось, реактивная мощность Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru циркулирует между источником и потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной мощности. В этой связи понятно стремление к увеличению Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru в силовых электрических цепях.

Следует указать, что подавляющее большинство потребителей (электродвигатели, электрические печи, другие различные устройства и приборы) как нагрузка носит активно-индуктивный характер.

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Если параллельно такой нагрузке Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru (см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий ток Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , как видно из векторной диаграммы (рис. 6), приближается по фазе к напряжению, т.е. Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru увеличивается, а общая величина тока (а следовательно, потери) уменьшается при постоянстве активной мощности Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . На этом основано применение конденсаторов для повышения Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Какую емкость С нужно взять, чтобы повысить коэффициент мощности от значения Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru до значения Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ?

Разложим Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru на активную Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru и реактивную Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru составляющие. Ток через конденсатор Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru компенсирует часть реактивной составляющей тока нагрузки Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru :

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; (10)
Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; (11)
Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (12)

Из (11) и (12) с учетом (10) имеем

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ,

но Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , откуда необходимая для повышения Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru емкость:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (13)

Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.

а) Постоянный ток

Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru (14)

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

б) Переменный ток.

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru (15)

В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , (16)

где знак “+” относится к индуктивным элементам Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , “-” – к емкостным Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности):

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

или

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Что такое активная мощность?
  2. Что такое реактивная мощность, с какими элементами она связана?
  3. Что такое полная мощность?
  4. Почему необходимо стремиться к повышению коэффициента мощности Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ?
  5. Критерием чего служит баланс мощностей?
  6. К источнику с напряжением Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru подключена активно-индуктивная нагрузка, ток в которой Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Определить активную, реактивную и полную мощности.

Ответ: Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500 ВА.

  1. В ветви, содержащей последовательно соединенные резистор R и катушку индуктивности L, ток I=2 A. Напряжение на зажимах ветви U=100 B, а потребляемая мощность Р=120 Вт. Определить сопротивления R и XL элементов ветви.

Ответ: R=30 Ом; XL=40 Ом.

  1. Мощность, потребляемая цепью, состоящей из параллельно соединенных конденсатора и резистора, Р=90 Вт. Ток в неразветвленной части цепи I1=5 A, а в ветви с резистором I2=4 A. Определить сопротивления R и XL элементов цепи.

Ответ: R=10 Ом; XС=7,5 Ом.

Лекция N 8. Резонансы в цепях синусоидального тока.
Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.   Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами (резонанс напряжений)   Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Для цепи на рис.1 имеет место Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru где
Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; (1)
Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (2)

В зависимости от соотношения величин Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru и Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , а следовательно,

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

2. В цепи преобладает емкость, т.е. Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , а значит, Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.

3. Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru - случай резонанса напряжений (рис. 2,в).

Условие резонанса напряжений

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (3)

При этом, как следует из (1) и (2), Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.

Пусть, например, в цепи на рис. 1 Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Тогда Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , и, соответственно, Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Действительно, в этом случае Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений LЭ и CЭ .

Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно записать

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (4)

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru и Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru для цепи на рис. 1 при U=const.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , (5)

- и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , (6)

или с учетом (4) и (5) для Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru можно записать:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (7)

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами
(резонанс токов)

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Для цепи рис. 4 имеем

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ,

где

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; (8)
Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (9)

В зависимости от соотношения величин Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru и Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

В цепи преобладает индуктивность, т.е. Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , а следовательно, Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.

В цепи преобладает емкость, т.е. Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , а значит, Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б.

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru - случай резонанса токов (рис. 5,в).

Условие резонанса токов Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru или

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (10)

При этом, как следует из (8) и (9), Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Например, для цепи на рис. 6 имеем

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Поскольку в режиме резонанса мнимая часть Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ,

откуда, в частности, находится резонансная частота.

Резонанс в сложной цепи

Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного сопротивления Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru или входной проводимости Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , определяет наличие у соответствующих этому условию уравнений относительно Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru нескольких вещественных корней, т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.

При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое выражение его входного реактивного сопротивления Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru или входной реактивной проводимости Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru следует представить в виде отношения двух полиномов по степеням Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , т.е. Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru или Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Тогда корни уравнения Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru дадут значения частот, которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru - значения частот, при которых возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов напряжений и токов чередуются.

В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение входного сопротивления данной цепи имеет вид

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Из решения уравнения Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru получаем частоту Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , соответствующую резонансу напряжений, а из решения уравнения Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru - частоту Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , соответствующую резонансу токов.

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Что такое резонанс напряжений, чем он характеризуется?
  2. Что такое резонанс токов, чем он характеризуется?
  3. В чем физическая сущность резонансных режимов?
  4. На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты?
  5. В цепи на рис. 1 R=1 Ом; L=10 мГн; С=10 мкФ. Определить резонансную частоту и добротность контура.

Ответ: Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

  1. Какие условия необходимы и достаточны, чтобы в цепи на рис. 1 выполнялось соотношение Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ?
  2. Определить резонансную частоту для цепи на рис. 7, если в ней конденсатор С3 заменен на резистор R3.

Ответ: Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Лекция N 9. Векторные и топографические диаграммы.

Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в котором находятся определяемые векторы.

При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока (см. лекцию № 8), а к нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принять вектор напряжения (см. лекцию № 8), ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях.

Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.

В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую диаграмму потенциалов для схемы, расчет которой был приведен в лекции № 5 (см. рис. 1).

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Параметры схемы: Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru найденные значения токов (см. лекцию № 5) равны: Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рис. 2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней.

Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на комплексной плоскости).

При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по направлению тока или против. Чаще используют второй вариант.

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

В этом случае с учетом того, что в электротехнике принято, что ток течет от большего потенциала к меньшему, потенциал искомой точки равен потенциалу предыдущей плюс падение напряжения на элементе между этими точками. Если на пути обхода встречается источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус величина ЭДС, если не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС.

Обозначив на схеме по рис. 1 точки между элементами цепи e и a и приняв потенциал точки а за нуль( Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ), определим потенциалы этих точек:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

или Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . Но разность потенциалов точек е и а равно напряжению U, приложенному к цепи, а оно равно 120 В. Таким образом, второй закон Кирхгофа выполняется, а следовательно, вычисления выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма на рис. 2. Следует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих топографическую диаграмму, относительно векторов тока: для резистивных элементов соответствующие векторы параллельны, для индуктивного и емкостных – ортогональны.

В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой связи допускается не указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений.

Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме.

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. 3.

 
Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

При параметрах схемы Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru и Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru токи в ветвях схемы равны: Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Построим потенциальную диаграмму для контура abcda.

Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура: Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru после чего определим потенциалы точек контура относительно потенциала произвольно выбранной точки a, потенциал которой принят за нуль:

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-20); c(4;17); d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рис. 4 построена потенциальная диаграмма для выбранного контура.

Преобразование линейных электрических схем

Для упрощения расчета и повышения наглядности анализа сложных электрических цепей во многих случаях рационально подвергнуть их предварительному преобразованию. Очевидно, что преобразование должно приводить к упрощению исходной схемы за счет уменьшения числа ее ветвей и (или) узлов. Такое преобразование называется целесообразным. При этом при любых способах преобразований должно выполняться условие неизменности токов в ветвях участков схемы, не затронутых этими преобразованиями. Из последнего вытекает, что, если преобразованию подвергаются участки цепи, не содержащие источников энергии, то мощности в исходной и эквивалентной схемах одинаковы. Если в преобразуемые участки входят источники энергии, то в общем случае мощности в исходной и преобразованной цепях будут различны.

Рассмотрим наиболее важные случаи преобразования электрических цепей.

1, Преобразование последовательно соединенных элементов

Рассмотрим участок цепи на рис. 5,а. При расчете внешней по отношению к этому участку цепи данную ветвь можно свести к виду на рис. 5,б, где

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru (1)

или

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (2)
 
Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru


При этом при вычислении эквивалентной ЭДС Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru k-я ЭДС берется со знаком “+”, если ее направление совпадает с направлением эквивалентной ЭДС, и “-”, если не совпадает.

2 Преобразование параллельно соединенных ветвей

Пусть имеем схему на рис. 6,а.

 
Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Согласно закону Ома для участка цепи с источником ЭДС

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ,

где Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Тогда

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ,

где Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; (3)
  Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , (4)

причем со знаком “+” в (4) записываются ЭДС Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru и ток Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , если они направлены к тому же узлу, что и ЭДС Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; в противном случае они записываются со знаком “-”.

3. Взаимные преобразования “треугольник-звезда”

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru В ряде случаев могут встретиться схемы, соединения в которых нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному типу (см. рис. 7). В таких случаях преобразования носят более сложный характер: преобразование треугольника в звезду и наоборот.

Преобразовать треугольник в звезду – значит заменить три сопротивления, соединенных в треугольник между какими-то тремя узлами, другими тремя сопротивлениями, соединенными в звезду между теми же точками. При этом на участках схемы, не затронутых этими преобразованиями, токи должны остаться неизменными.

Без вывода запишем формулы эквивалентных преобразований

Треугольник Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru звезда   Звезда Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru треугольник

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш.шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Что представляют собой векторные диаграммы?
  2. Что такое топографические диаграммы, для чего они служат?
  3. В чем сходство и различие топографической и потенциальной диаграмм?
  4. Какой практический смысл преобразований электрических цепей?
  5. В чем заключается принцип эквивалентности преобразований?
  6. Построить потенциальные диаграммы для левого и внешнего контуров цепи рис.3. Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru
  7. Полагая в цепи на рис. 8 известными ток Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru и параметры всех ее элементов, качественно построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму потенциалов для нее.
  8. Определить входное сопротивление цепи на рис. 8, если Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Ответ: Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

  1. Определить сопротивления ветвей треугольника, эквивалентного звезде между узлами a,c и d в цепи на рис. 8.

Ответ: Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

  1. Определить сопротивления ветвей звезды, эквивалентной треугольнику в цепи на рис. 8, состоящему из элементов Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru и Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Ответ: Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru .

Лекция N 10. Анализ цепей с индуктивно связанными элементами.
Электрические цепи могут содержать элементы, индуктивно связанные друг с другом. Такие элементы могут связывать цепи, электрически (гальванически) разделенные друг от друга. В том случае, когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны, а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи
Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru , (1)

где М – взаимная индуктивность элементов цепи (размерность – Гн); Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru и Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru -собственные индуктивности этих элементов.

Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru Слеует отметить, что всегда к<1.

Пусть имеем две соосные катушки в общем случае с ферромагнитным сердечником (см. рис. 1). На рис. 1 схематично показана картина магнитного поля при наличии тока i1 в первой катушке (направление силовых линий магнитного потока определяется по правилу правого буравчика). Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукцииФ11 , а витки второй катушки – с магнитным потоком взаимной индукцииФ21, который отличается от Ф11 (Ф21< Ф11) за счет потоков рассеяния.

По определению


Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru ; (2)
Резистор (идеальное активное сопротивление). - student2.ru . (3)

Если теперь наоборот пропустить ток i2 по второй катушке, то соответственно получим

Наши рекомендации