Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел

Неравенство Чебышёва.

 Пусть случайная величина X такова, что математическое ожидание её квад-
рата существует и конечно: M(X2)<+¥.

 Тогда для любого e>0 справедливо неравенство:

             P{|X|³e}£ Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru .

Доказательство. ƒ Введём случайную величину Y:

Y= Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru
0, если |X|<e,
e2, если |X|³e.

Это дискретная случайная величина. Её закон распределения даётся двумя вероятностями:

P{Y=0}=P{|X|<e},
P{Y=e2}=P{|X|³e};

её математическое ожидание равно: MY=e2P{|X|³e}.

Легко проверить, что Y£X2. В самом деле, если Y=0, то неравенство очевидно; если Y=e2, то при этом |X|³e Û X2³e2. Отсюда: MY£M(X2), что можно переписать в виде:

P{|X|³e}£ Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru . ‚

Неравенство Чебышёва записывают и в других формах. Например, применим его к случайной величине X-MX, в предположении, что существует дисперсия DX:

P{|X-MX|³e}£ Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru = Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru .

Для противоположного события:

P{|X-MX|<e}³1- Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru .

Применим неравенство Чебышёва в последней форме к среднему арифметическому Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru попарно некоррелированных случайных величин X1, X2, ¼ , Xnc одинаковыми математическими ожиданиями MXi=a и одинаковыми дисперсиями DXi=s2:

1³P{| Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru -a|<e}³1- Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru , "e>0.

Перейдём здесь к пределу при n®+¥:

Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru P{| Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru -a|<e}=1, "e>0.

Мы получили так называемый закон больших чисел в форме Чебышёва.

  Закон больших чисел в форме Чебышёва

  Среднее арифметическое Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru отличается от истинного среднего значения
a меньше сколь угодно малого e>0 при достаточно большом числе наблюде-
ний с вероятностью, сколь угодно близкой к единице.

  Это утверждение кратко записывается так:  Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru a – и читается: " Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru схо-
дится по вероятности к a."

В частности, закон больших чисел Чебышёва действует в схеме повторных независимых равноточных измерений без систематической погрешности любой физической величины a и оправдывает нашу интуитивную веру в среднее арифметическое Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru как хорошее приближение для a. Мы получаем уверенность в том, что при достаточно большом числе измерений мы будем знать истинное значение измеряемой величины a сколь угодно точно со сколь угодно большой вероятностью. Однако закон больших чисел указывает лишь очень грубо, сколько наблюдений достаточно выполнить, чтобы добиться заданной точности: если мы хотим, чтобы P{| Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru -a|<e}³1-d, достаточно произвести n³ Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru  наблюдений.

Из закона больших чисел Чебышёва следует закон больших чисел Бернулли.

  Закон больших чисел в форме Бернулли.

  Относительная частота  Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru  события A сходится по вероятности к вероят-
ности p события A:  Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru P{| Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru -p|<e}=1 для "e>0.

Действительно, пусть проведено n независимых опытов, в которых событие A произошло m раз. Введём случайные величины

Xi= Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru
1, если событие Aiпроизошло,
0, если событие Aiне произошло.

Это дискретные случайные величины, причём:

MXi=1×p+0×(1-p)=p, MXi2=12×p+02×(1-p)=p, DXi=M(Xi2)-(MXi)2=p-p2=pq,
Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru = Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru (Xi+X2+¼+Xn)= Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru .

Выполнены условия закона больших чисел Чебышёва, в котором a=p, s2=pq. Поэтому:  Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru p.

Закон больших чисел в форме Бернулли даёт обоснование нашей интуитивной веры в относительную частоту как приближение для вероятности: как бы ни было мало e>0, для достаточно большого числа наблюдений n относительная частота Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru события A бу­дет отличаться от его вероятности p меньше этого e с вероятностью, как угодно близкой к единице.

Возможно нам хотелось бы большего, а именно: Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru =p. Но так много теория вероятностей дать не может. И это по существу! Например, при бросании монеты ничто не мешает ей всё время выпадать решкой, а для подобной серии испытаний относительная частота гербов равна нулю. Нетрудно также построить серию испытаний, для которой  Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru  принимает любое заданное значение на отрезке [0, 1], либо не существует. Тем удивительнее усиленный закон больших чисел, доказанный Борелем.

  Усиленный закон больших чисел (Борель).

  Предел относительной частоты  Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru  события A существует и равен вероят-
ности p этого события почти наверное: P{ Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru =p}=1.

Связь относительной частоты и вероятности позволяет дать ещё одну мотивировку принятого в теории вероятностей определения математического ожидания и его толкования как среднего значения. Пусть дискретная случайная величина X с возможными значениями xkи вероятностями pkнаблюдается n раз независимым образом; пусть частота xkравна mk, Среднее арифметическое этих наблюдений равно

Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru = Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru xkmk= Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru xk Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru .

Можно думать, что истинное среднее мы получим, сделав бесконечно много наблюдений, а относительные частоты Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru при этом почти наверное будут равны вероятностям pk. Это и даёт для истинного среднего выражение Неравенство П. Л. Чебышёва и законы больших чисел - student2.ru xkpk, т. е. MX.

Наши рекомендации