Одномерные случайные величины

Пусть имеется вероятностное пространство (W, Å, P(×)) Определим на W числовую функцию X=X(w): каждому элементарному событию w приведено в соответствие вещественное число X(w).Такая функция называется случайной величиной. Мы ставим опыт, получаем элементарное событие w, смотрим, какое число X(w)=x было приведено ему в соответствие, и говорим: в опыте случайная величина X приняла значение x.

Рассмотрим простейший случай: число возможных значений случайной величины X конечно или счётно: x₁, ¼ , x_k, ¼ Такую случайную величину называют дискретной. Законом распределения дискретной случайной величины называют совокупность вероятностей её возможных значений: p_k=P{X=x_k}. Будем предполагать, что события {X=x_k} содержатся в поле событий Å, и тем самым вероятности p_kопределены.

Очевидно, одно и только одно из своих значений случайная величина обязательно примет. Поэтому выполняется равенство

p_k=1,

называемое иногда условием нормировки в дискретном случае.

Задать случайную величину значит задать закон её распределения: т. е. указать её возможные значения и распределение вероятностей между ними.

В общем случае общепринятый способ задания случайной величины даёт так называемая функция распределения:

F(x)=P{X<x}.

Она указывает, какая вероятность досталась не отдельным точкам, а полуоси левее точки x, не включая саму точку x. Приходится дополнительно предполагать, что событие {X<x}ÎÅ, в противном случае функция распределения была бы не определена.

Дискретную случайную величину можно задавать её функцией распределения. Нетрудно сообразить, что это будет ступенчатая функция с разрывами в точках x_kи скачками p_kв этих точках:

F(x)=P{X<x}= P{X=x_k}= p_k,

где суммирование ведётся по всем тем возможным значениям X, которые оказались меньше x.

Если существует такая функция p(x), которая позволяет представить функ­цию распределения интегралом:

F(x)= p(x)dx,

то случайная величина X называется непрерывной, а p(x) – плотностью вероятности случайной величины X.

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины является непрерывной функцией (отсюда и название случайной величины), и, более того, – дифференцируемой функцией: F^¢(x)=p(x).

В более общем случае случайная величина X может принадлежать к смешанному типу: вероятность распределяется как между отдельными точками (дискретная составляющая), так и на интервалах (непрерывная составляющая). Если отдельным точкам x_kдостались вероятности p_k, а остальная вероятность пошла на непрерывное распределение с линейной плотностью p(x), то:

F(x)=P{X<x}= P{X=x_k}+ p(x)dx.

Если суммарная вероятность, доставшаяся точкам x_kслучайной величины X смешанного типа, равна A ( p_k=A), а на непрерывное распределение X ухо­дит вероятность B, ( p(x)dx=B), то A+B=1.

Можно считать, что случайная величина X является смесью двух случайных величин: дискретной Y с возможными значениями x_kи вероятностями p_kи непрерывной Z с плотностью p(x). Функция распределения X имеет вид: F(x)=AF_Y(x)+BF_Z(x).

Вообще, если имеются случайные величины X_i, i=1, 2, ¼ , n с функциямираспределения F_Xi(x), то смесью этих случайных величин называют случайную величину с функцией распределения

F(x)= A_iF_Xi(x),

где числа A_iудовлетворяют условиям: 0£A_i£1, A₁+A₂+¼+A_n=1, и играют роль весовых множителей, они регулируют вклад в смесь отдельных составляющих. Функция F(x), очевидно, обладает необходимыми свойствами функции распределения и может задавать случайную величину.

Основные свойства функции распределения F(x)
и плотности вероятности p(x)

1°. Считаем, что случайная величина X или совсем не принимает значений ±¥ или почти наверное их не принимает: P{X=+¥}=P{X=-¥}=0. При этом предположении:

F(x)=F(-¥)=0, F(x)=F(+¥)=1.

2°. F(x) – монотонно-неубывающая функция:

x₁<x₂ Þ F(x₁)£F(x₂).

Действительно: {X<x₂}={X<x₁}+{x₁£X<x₂}. Справа стоит сумма двух несовместимых событий. Поэтому:

P{X<x₂}=P{X<x₁}+P{x₁£X<x₂},

или:

F(x₂)=F(x₁)+P{x₁£X<x₂}

и неравенство F(x₂)³F(x₁) следует из неотрицательности вероятности P{x₁£X<
<x₂}.

3°. В доказательстве второго свойства мы выразили через функцию распределения вероятность попадания случайной величины X в полуоткрытый интервал:

P{x₁£X<x₂}=F(x₂)-F(x₁).

4°. Перепишем последнее равенство, взяв x₁=x, x₂=x+e, e>0:

P{x£X<x+e}=F(x+e)-F(x).

Перейдём здесь к пределу при e®0: P{X=x}= F(x+e)-F(x)=F(x+0)-F(x). Таким образом, для любой случайной величины X вероятность любого конкретного значения равна скачку F(x+0)-F(x) её функции распределения в точке x. Во всех точках непрерывности F(x) этот скачок и, следовательно, вероятность P{X=x}, равны нулю. Для непрерывных случайных величин все точки таковы, и ни одной из них не досталось положительной вероятности.

Если мы наблюдаем непрерывную случайную величину и получили значение X=x, то мы получили пример события A={X=x}, вероятность которого равна нулю, которое, однако, произошло, а событие  ={X¹x}, вероятность которого рана единице, не произошло. Ясно, что повторить появление события A почти наверное не удастся.

Так как функция распределения определена равенством F(x)=P{X<x}, где под знаком вероятности стоит строгое неравенство, то вероятность, возможно сосредоточенная в точке x, не учитывается, поэтому F(x) – функция, непрерывная слева:

F(x-e)=F(x-0)=F(x).

5°. Теперь нетрудно выразить через F(x) вероятность попадания случайной величины в произвольный интервал:

P{x₁£X£x₂}=F(x₂+0)-F(x₁),
P{x₁<X<x₂}=F(x₂)-F(x₁+0),
P{x₁<X£x₂}=F(x₂+0)-F(x₁+0).

6°. Плотность вероятности p(x) неотрицательна. Это следует из монотонного неубывания F(x).

7°. Переходя к пределу при x®+¥ в равенстве F(x)= p(x)dx, и учитывая, что F(+¥)=1, получим условие нормировки для непрерывной случайной величины:

p(x)dx=1.

Геометрический смысл этого равенства: площадь под кривой плотности вероятности всегда равна единице.

8°. Общее правило вычисления вероятностей для дискретной и непрерывной случайной величины: если A –– некоторое числовое множество на вещественной оси, то

P{XÎA}= P{X=x_k},
P{XÎA}= p(x)dx

и ясно, что в непрерывном случае вероятность событий {XÎA} определена лишь для таких множеств A , для которых имеет смысл интеграл p(x)dx.

9°. Мы считаем, что задавая произвольную функцию F(x) с обязательными свойствами функции распределения: монотонное неубывание, непрерывность слева, F(-¥)=0, F(+¥)=1, – мы задаём некоторую случайную величину. Если F(x) – ступенчатая функция, то она задаёт дискретную случайную величину: точки скачков – её возможные значения, величины скачков – их вероятности.

Дискретную случайную величину можно задать таблицей её возможных значений и их вероятностей: x_k, p_k, k=1, 2, ¼ , n, лишь бы были "p_k³0 и p_k=1.

Непрерывную случайную величину можно задать плотностью вероятности p(x). В качестве таковой может служить любая неотрицательная функция, удовлетворяющая условию нормировки: p(x)dx=1.

Основные случайные величины

Любой сходящийся интеграл от неотрицательной функции порождает непрерывное распределение. Именно, если  j(x)dx=I, то роль плотности играет

p(x)=

j(x), если xÎA,
0, если xÏA.

Любая конечная сумма или сходящийся ряд с неотрицательными слагае­мыми порождает дискретное распределение. Именно: если q_k=S, то роль дискретных вероятностей играют p_k= q_k, а в качестве x_kможно взять любые числа; наиболее простой выбор: x_k=k.

Рассмотрим конкретные примеры.

1°. Равномерное распределение. Его порождает интеграл dx=b-a.

p(x)=

, если xÎ[a, b],
0, если xÏ[a, b].

Этот закон распределения будем обозначать R(a, b); числа a и b называются параметрами распределения. Тот факт, что случайная величина X равномерно распределена на отрезке [a, b], будем обозначать следующим образом: X~R(a, b).

В частности, плотность случайной величины X~R(0, 1) имеет наиболее простой вид:

p(x)=

1, если xÎ[0, 1],
0, если xÏ[0, 1].

Функция распределения такой случайной величины равна:

F(x)=

0, если x<0,
x, если 0£x£1,
1, если x>0.

Если мы наугад выбираем точку на отрезке [0, 1], то её абсцисса x является конкретным значением случайной величины X~R(0, 1). Слово ''наугад" имеет в теории вероятностей терминологическое значение и говорится с целью подчеркнуть, что соответствующая непрерывная случайная величина распределена равномерно, или дискретная случайная величина имеет конечное число N возможных равновероятных значений.

2°. Экспоненциальное распределение.

Его порождает интеграл e^-mxdx= , m>0.

p(x)=

Плотность вероятности, очевидно, равна

me^-mx, если x³0,
0, если x<0,

F(x)=

а функция распределения:

1-me^-mx, если x³0,
0, если x<0.

То обстоятельство, что случайная величина распределена по экспоненциальному закону, будем записывать так: X~Exp(m), m называется параметром распределения (m>0).

3°. Распределение Коши. Его порождает интеграл dx=p.

Плотность вероятности: p(x)= , -¥<x<+¥.

4°. Гамма-распределение. Его порождает интеграл, который определяет гамма-функцию: G(l)= e^-tt^l-1dt, l>0. Выполним в этом интеграле замену переменной, положим: t=mx, m>0:

G(l)=m^l e^-mxx^l-1dx.

p(x)=

Соответствующая плотность вероятности равна:

x^l-1e^-mx, если x>0,
0, если x£0.

Будем обозначать это распределение G(l, m), l и m – параметры распределения (l>0, m>0).

5°. Нормальное распределение. Его порождает интеграл Пуассона:

I= dx= .

Докажем это равенство. Интеграл бы легко вычислялся, если бы подынтегральное выражение содержало множитель x. Такой множитель можно ввести под знак интеграла с помощью следующего остроумного приёма.

Запишем квадрат интеграла в следующем виде:

I²= dx× dy,

а теперь представим произведение интегралов как двойной интеграл:

I²= dxdy.

Перейдём в этом интеграле к полярным координатам. Положим: x=rcosj, y=
=rsinj, и ещё вспомним, что абсолютная величина якобиана при переходе от декартовых координат к полярным равна r. Заметим, наконец, что областью интегрирования двойного интеграла является вся плоскость, так что границы изменения переменных r и j, соответственно, таковы: rÎ[0; +¥), jÎ[0; 2p). Поэтому:

I²= dj rdr.

Теперь легко убедиться, что rdr=1, а потому I²=2p.

Распределение с плотностью

p(x)= , xÎ(-¥; +¥)

называется стандартным нормальным законом и обозначается N(0, 1).

Ему соответствует функция распределения:

F₀(x)= dx.

Обычно принято табулировать интеграл

F(x)= dx,

называемый интегралом ошибок или интегралом Лапласа. Функция распределения стандартного нормального закона просто выражается через этот интеграл:

F₀(x)= + F(x).

Если в интеграл Пуассона ввести параметры масштаба и сдвига с помощью замены переменной, заменив x на , то он примет вид:

dx=1.

Случайную величину с плотностью вероятности

p(x)= , xÎ(-¥; +¥),

называют нормально распределённой случайной величиной или просто нормальной. Соответствующий ей закон распределения обозначают N(a, s), a и s – параметры распределения (s>0, a – любое вещественное число).

График p(x) представлен на рис. 1.

p(x) x a O Рис. 1.

a – точка максимума p(x), его значение равно . Так как площадь под кривой всегда равна единице, то чем меньше s, тем больше вероятности сосредоточивается вблизи максимума. Таким образом, устанавливаем вероятностный смысл параметров нормального закона: областью наиболее вероятных значений нормальной случайной величины является окрестность точки a, а s указывает на степень концентрации вероятности в окрестности точки a – чем меньше s, тем менее вероятны заметные отклонения X от a.

Функцию распределения произвольного нормального закона легко выразить через интеграл Лапласа. Для этого нужно в выражении для функции распределения

F(x)= dx

выполнить замену переменной, положив =y:

F(x)= dy= + F( ).

6°. Геометрическое распределение. Его порождает геометрическая прогрессия:  = q^k-1, 0<q<1.

Соответствующая дискретная случайная величина имеет возможные значения x_k=k, k=1, 2, ¼ с вероятностями p_k=(1-q)q^k-1. Обозначение геометрического распределения: G(q), q – параметр распределения (0<q<1).

7°. Пуассоновское распределение. Его порождает разложение в ряд показательной функции: e^l= , l>0, которому отвечает дискретная случайная величина, принимающая целые неотрицательные значения x_k=k, k=0, 1, 2, ¼ с вероятностями p_k= .

Будем обозначать это распределение через P(l), l – параметр распределения (l>0).

8°. Биномиальное распределение. Его порождает формула бинома Ньютона: (p+q)ⁿ= p^mq^n-m.

Чтобы сумма вероятностей распределения p_kравнялась единице и все они были положительными, возьмём p>0, q>0, p+q=1, т. е. q=1-p. Возможными значениями будем считать x_k=k, k=0, 1, 2, ¼ , n, а их вероятностями – p_k= p^kq^n-k. Обозначим это распределение B(n, p), n и p – параметры распределения (0<p<1, nÎN, т. е. n – натуральное число).

Биномиальная случайная величина появляется, например, в схеме Бернулли, называемой также схемой последовательных независимых испытаний. Состоит она в следующем: осуществляется некоторый комплекс условий, при котором мы имеем одно и только одно из двух событий: либо "успех", либо "не­удачу", причём вероятность "успеха" равна p, вероятность "неудачи" равна q=
=1-p; эта попытка независимым образом повторяется n раз. Считая опытом все n попыток, можем считать элементарным событием опыта цепочку длины n, полученных в результате опыта "успехов" (У) и "неудач" (Н): УУУННУ
Н¼У.

Определим случайную величину X, задав её как число успехов в одном опыте. Событию {X=k} благоприятствуют те элементарные события, которые содержат "успех" ровно k раз, а "неудачу" – остальные n-k раз. Число таких благоприятствующих событию {X=k} элементарных событий, равно, очевидно, , а вероятности всех их одинаковы и по теореме умножения для независимых событий равны p^kq^n-k. Окончательно получаем: P{X=k}= p^kq^n-k, а возможными значениями случайной величины X оказываются числа x_k=k, k=
=0, 1, 2, ¼ n. Таким образом, число успехов X в схеме Бернулли – биномиальная случайная величина: X~B(n, p).

Пусть имеется вероятностное пространство (W, Å, P(×)) и рассматривается некоторое событие A. Обозначим его вероятность P(A)=p. Пусть испытание независимым образом повторяется n раз, причём событие A в этих n последовательных попытках наблюдалось k раз. Число k называется абсолютной частотой события A. Оно является конкретным значением случайной величины X, определённой на серии из n независимых испытаний. Ничто не мешает объявить событие A "успехом", а событие – "неудачей". Это превращает последовательность из n испытаний в схему Бернулли, а абсолютная частота события A оказывается распределённой по закону Бернулли.

Геометрическое распределение также просто связано со схемой Бернулли: будем повторять попытку до появления первого "успеха". Элементарным событием в таком опыте является цепочка, у которой "успех" расположен только на последнем (k-м) месте, а на всех предыдущих местах (а их k-1) – только "не­удачи": ННННН¼НУ. Свяжем с этим опытом случайную величину X – общее число попыток в опыте. Очевидно, значениями этой случайной величины могут быть x_k=k, k=1, 2, 3, ¼ , а их вероятности p_k=q^k-1p, что и совпадает с геометрическим распределением G(p).