Приложения двойного интеграла
1. Площадь плоской области вычисляется по формуле:
.
Если область определена неравенствами
,
, то
.
Если область определена неравенствами
,
, то
.
Если область в полярных координатах определена неравенствами
,
, то
.
2. Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу областью
на плоскости
, сбоку цилиндрической поверхностью, параллельной оси Оz, вычисляется по формуле:
.
3. Площадь поверхности вычисляется по формуле:
где – проекция данной поверхности на плоскость
.
4. Масса вещества (пластины), занимающего область плоскости
и имеющего плотность
, вычисляется по формуле:
.
При этом статические моментыпластины относительно осей и
вычисляются по формулам:
,
.
Координаты центра тяжестипластины вычисляются по формулам:
,
.
В случае однороднойпластины координаты центра тяжести вычисляются по формулам:
,
.
П р и м е р 11. Найти площадь фигуры ограниченной линиями:
Р е ш е н и е. Область изображена на рис. 23. Она является правильной в направлении оси Ох и удовлетворяет теореме 3.
у у=х+2
2
D
О4 х
-2
Рис. 23
Поэтому получаем:
О т в е т:
П р и м е р 12.Найти площадь той части конуса , которая заключена внутри цилиндра
.
Р е ш е н и е. Вычислим:
Тогда площадь поверхности вычисляется с помощью двойного интеграла:
,
где областью интегрирования является круг с центром в точке (1;0) радиуса
, ограниченный окружностью
.
Поэтому получаем:
.
О т в е т: .
П р и м е р 13. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями (рис. 24).
Р е ш е н и е. В данном примере фигура однородна. Поэтому координаты центра тяжести находим по формулам:
где
- площадь области
.
у
2
-1 O 2 x
-2
Рис. 24
Учитывая симметрию фигуры относительно оси , вычислим:
;
Следовательно,
О т в е т: .
ПРИМЕРЫ
Вычислить повторный интеграл:
1. 2.
Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями:
3. 4.
5. 6.
7. 8.
Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле в одном и
другом порядке, если область ограничена линиями:
9. . 10.
11. . 12.
.
Изменить порядок интегрирования в интегралах:
13. 14.
15.
16.
17. 18.
19.
20.
Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл, если область
определена неравенствами:
21. 22.
23. 24.
25. 26.
С помощью двойного интеграла вычислить площадь области,
ограниченной линиями:
27. 28.
. 29.
.
С помощью двойного интеграла вычислить объем тела,
ограниченного поверхностями:
30. . 31.
.
32. . 33.
.
С помощью двойного интеграла вычислить площадь поверхности:
34.Части сферы заключенной внутри цилиндра
.
35. Части плоскости , отсеченной плоскостями
,
,
.
36.Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: .
37.Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями .
ОТВЕТЫ
1. . 2.
3.
. 4.
5.
6.
. 7.
8.
9.
10.
11.
12. 13.
14.
15. 16.
17.
18. 19.
20.
21. 22.
23.
24.
25.
. 26.
27.
28. 29.
30.
31.
32.
33.
34. 35.
. 36.
. 37.
.
§ 10. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ