Глава 3. Действия с натуральными числами
(22 урока)
Примерное поурочное планирование учебного материала
| Пункт учебника | Число уроков | Рабочая тетрадь, номер задания | Дидактические материалы | Характеристика деятельности учащихся |
| 3.1. Сложение и вычитание | 41—55 (ч. 1) | О-6, О-7, О-8, О-9, П-4, П-5, П-6, «Проверь себя» | Называть компоненты действий сложения и вычитания. Применять буквы для записи свойств нуля при сложении и вычитании. Выполнять сложение и вычитание натуральных чисел. Применять взаимосвязь сложения и вычитания для нахождения неизвестных компонентов этих действий, для самопроверки при выполнении вычислений. Находить ошибки и объяснять их. Познакомиться с приёмами прикидки и оценки суммы нескольких слагаемых, применять эти приёмы в практических ситуациях. Решать текстовые задачи на сложение и вычитание, анализировать и осмысливать условие задачи | |
| 3.2. Умножение и деление | 56—68, 70—72 (ч. 1) | О-10, О-11, О-12, О-13, О-14, О-15, П-7, П-8, П-9, «Проверь себя» | Называть компоненты действий умножения и деления. Применять буквы для записи свойств нуля и единицы при умножении и делении. Выполнять умножение и деление натуральных чисел. Применять взаимосвязь умножения и деления для нахождения неизвестных компонентов этих действий, для самопроверки при выполнении вычислений. Познакомиться с приёмами прикидки и оценки произведения нескольких множителей, применять приёмы самоконтроля при выполнении вычислений. Находить ошибки и объяснять их. Решать текстовые задачи на умножение и деление, анализировать и осмысливать условие задачи. Анализировать числовые последовательности, находить правила их конструирования | |
| 3.3. Порядок действий в вычислениях | 69, 73 (ч. 1) | О-16, П-10, П-11, «Проверь себя» | Вычислять значения числовых выражений, содержащих действия разных ступеней, со скобками и без скобок. Оперировать с математическими символами, действуя в соответствии с правилами записи математических выражений. Решать текстовые задачи арифметическим способом, используя различные зависимости между величинами (скорость, время, расстояние; работа, производительность, время и т. д.): анализировать и осмысливать текст задачи; осуществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию | |
| 3.4. Степень числа | 74—79 (ч. 1) | О-17, П-12, «Проверь себя» | Оперировать символической записью степени числа, заменяя произведение степенью и степень произведением. Вычислять значения степеней, значения числовых выражений, содержащих квадраты и кубы натуральных чисел. Применять приёмы прикидки и оценки квадратов и кубов натуральных чисел, использовать эти приёмы для самоконтроля при выполнении вычислений. Анализировать на основе числовых экспериментов закономерности в последовательностях цифр, которыми оканчиваются степени небольших чисел | |
| 3.5. Задачи на движение | 80—82 (ч. 1) | О-18, О-19, П-13, П-14 | Решать текстовые задачи арифметическим способом, используя зависимость между скоростью, временем, расстоянием: анализировать и осмысливать текст задачи; моделировать условие с помощью схем и рисунков; переформулировать условие; строить логическую цепочку рассуждений; критически оценивать полученный ответ, осуществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию | |
| Обзор и контроль | Вычислять значения числовых выражений. Называть компоненты арифметических действий, находить неизвестные компоненты действий. Записывать в буквенной форме свойства арифметических действий, свойства нуля и единицы при сложении и вычитании, умножении и делении. Находить и объяснять ошибки. Называть основание и показатель степени, находить квадраты и кубы чисел, вычислять значения выражений, содержащих степени. Анализировать числовые равенства и числовые закономерности, применять подмеченные закономерности в ходе решения задач. Решать текстовые задачи арифметическим способом |
Основные цели: закрепить и развить навыки арифметических действий с натуральными числами, ознакомить с элементарными приёмами прикидки и оценки результатов вычислений, углубить навыки решения текстовых задач арифметическим способом.
Обзор главы. Особенностью изложения материала в курсе является совместное рассмотрение прямых и обратных операций над числами: сложения и вычитания, умножения и деления. Это целесообразно и возможно потому, что у учащихся уже имеется достаточный опыт выполнения этих действий, а одновременное их рассмотрение позволяет лучше уяснить взаимосвязь прямых и обратных операций.
В то же время отработка навыков выполнения арифметических действий с натуральными числами по-прежнему остаётся важнейшей целью. Для её достижения в учебнике содержится достаточное число заданий. Их следует использовать в той степени, которая определяется реальным уровнем вычислительной подготовки детей. При этом предлагаемые упражнения весьма разнообразны. Среди них есть и такие, которые дают возможность ощутить гармонию чисел, увидеть ту или иную закономерность.
Принципиально новым материалом для учащихся являются приёмы прикидки и оценки результата вычислений (например, определение высшего разряда результата, оценка результата снизу или сверху), а также некоторые приёмы проверки правильности выполнения арифметических действий (например, определение цифры, которой должен оканчиваться результат).
Эта линия будет последовательно продолжена в 5 и 6 классах при изучении дробей и рациональных чисел. Овладение соответствующими умениями чрезвычайно важно с точки зрения интеллектуального развития школьников для выработки привычки к самоконтролю и формирования адекватных для этой цели навыков.
Решение комплексных примеров на все действия с натуральными числами позволяет закрепить умение устанавливать правильный порядок действий. Вводится новое понятие «степень числа» и вычисляются значения выражений, содержащих степени. Продолжается развитие умения решать текстовые задачи арифметическим способом. Специальное внимание уделяется решению задач на движение.
В ходе выполнения упражнений учащиеся вовлекаются в ситуации из реальной жизни, требующие применения полученных умений.
Материалы для контроля.
Пособие «Контрольные работы». Зачёт 2. Действия с натуральными числами.
Пособие «Тематические тесты». Тест 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Тест 3. Умножение и деление натуральных чисел
Сложение и вычитание
Методический комментарий
Основная цель первых упражнений — восстановление знаний и умений учащихся, связанных с действиями сложения и вычитания натуральных чисел. Это знание таблицы сложения однозначных чисел, названий компонентов сложения и вычитания, свойств нуля при сложении и вычитании, умение складывать и вычитать трёх-четырёхзначные числа, решать текстовые задачи, требующие понимания отношений «больше (меньше) на», смысла слов «всего», «вместе», «осталось».
При отработке вычислительных навыков в системе упражнений предусматриваются различные случаи перехода из разряда в разряд: сложение чисел с переходом через десяток (315 + 426), через сотню (664 + 274), через десяток и сотню (548 + 277); вычитание чисел с раздроблением десятка (375 – 158), сотни (462 – 181), десятка и сотни (622 – 333). Разумеется, «методическая кухня» не для учеников, просто нужно при восстановлении и развитии навыков предусмотреть все эти случаи. Время, отводимое на актуализацию соответствующих навыков, должно зависеть от уровня предварительной подготовки класса.
Важнейшей целью изучения материала этого пункта является уяснение взаимосвязи между сложением и вычитанием, которое достигается путём выполнения упражнений из учебника типа 162—165.
Задания 171—175 направлены на формирование оценочных умений (последнее с практическим контекстом). В ходе выполнения этих заданий учащимся приходится находить два соседних круглых числа, между которыми заключено данное число (либо одно из этих чисел — меньшее или большее), округлять данное число (например, до старшего разряда). Таким образом, материал предыдущей главы, связанный с округлением чисел, получает дальнейшее развитие и закрепление.
Кроме того, определённое внимание должно уделяться формированию навыков самоконтроля при выполнении вычислений. Этому способствуют, например, такие упражнения, как 163,173. Заметим, что любую ошибку, допущенную учеником при выполнении арифметических действий с натуральными числами, учитель может использовать для формирования навыков оценки и самоконтроля, предлагая классу вопросы типа: «Ответ неверный. Объясните почему».
Особое внимание необходимо уделять умению выполнять арифметические действия устно. С помощью устных вычислений развивается память, быстрота реакции, умение сосредоточиться. Приёмы устного счёта основаны на использовании десятичного состава числа и свойств арифметических действий. Они знакомы учащимся из курса начальной школы и должны быть доведены до навыка применительно к действиям с одно-двузначными числами. Задания для тренировки в устном счёте помещены в рабочей тетради.
Среди упражнений встречаются задания на нахождение неизвестных компонентов сложения и вычитания (см. упражнение 164). Для их решения используются правила, основанные на зависимости между компонентами арифметических действий. Учащиеся часто затрудняются в применении этих правил. Поэтому их целесообразно познакомить с приёмом использования «маленького примера», показанным в образце к обучающей работе О-7 (дидактические материалы).
Текстовые задачи, дополняющие упражнения учебника, помещены в работах О-8 и О-9. Обращаем внимание на работу О-9: её основная цель — сформировать умение проверять правильность ответа, полученного при решении задачи.
Комментарий к упражнениям
171. Рассуждения проводятся устно, например, так, как показано в образце.
173. а) 284 + 634 ≈ 300 + 600 = 900; 284 + 634 = 918. Точное значение суммы на 18 больше полученного прикидкой.
174. В книгохранилище всего 34 100 книг, т. е. примерно 34 тыс. книг. Ответ: 4.
178. 33 321 – 11 123 = 22 198.
215. а) Каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих чисел. Имеем 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ... .
б) Каждое число, начиная со второго, может быть получено прибавлением его «номера» к предыдущему числу:
первое число: 1,
второе число: 1 + 2 = 3,
третье число: 3 + 3 = 6,
четвёртое число: 6 + 4 = 10, и т. д.
Действуя таким же образом, получим следующие пять чисел:
10 + 5 = 15, 15 + 6 = 21, 21 + 7 = 28, 28 + 8 = 36, 36 + 9 = 45.
182. б) Жёлтых: 27 – 4 = 23 штуки. Красных, синих и жёлтых: 27 + 23 = = 50 штук. Зелёных: 80 – 50 = 30 штук. Красных: 30 – 15 = 15 штук. Синих: 27 – 15 = 12 штук.
183. а) Возможны разные последовательности действий. Например, зная общую массу всех трёх плодов и массу яблока и апельсина, можно найти массу груши. Для этого достаточно из общей массы вычесть массу яблока и апельсина: 565 – 415 = 150 (г). Точно так же можно найти массу яблока: 565 – 430 = 135 (г). Остаётся найти массу апельсина. Для этого можно от общей массы яблока и апельсина отнять массу яблока или от общей массы апельсина и груши отнять массу груши. Масса апельсина равна 180 г.
Полезно попросить учащихся предложить другие пути рассуждения.
б) При решении этой задачи, так же как и задачи в пункте «а», полезно, закодировав название цвета первой буквой соответствующего слова, записать условие в виде такого рода схемы:
к + с + з + ж = 44,
к + c + з =37,
с + з + ж = 29,
к + з + ж = 32.
Из этой записи легко видно, какие разности надо находить.
Ответ: 15 красных флажков, 12 синих, 10 зелёных и 7 жёлтых.
Умножение и деление
Методический комментарий
Логика этого пункта аналогична логике предыдущего пункта. Первые упражнения направлены на восстановление основных знаний и умений учащихся, связанных с умножением и делением натуральных чисел. Это знание таблицы умножения однозначных чисел, названий компонентов умножения и деления, свойств нуля и единицы при умножении и делении, умения выполнять умножение трёхзначных чисел, деление трёх-четырёхзначных чисел на одно-двузначное, решать несложные задачи, требующие понимания отношений «больше (меньше) в...», выражений «поровну», «во сколько раз».
При отработке навыков умножения нужно предусмотреть упражнения на умножение многозначного числа на однозначное (53 400 · 7), случаи умножения на 10, на 100 и т. д., умножение трёхзначного числа на двузначное (873 · 16), на трёхзначное (295 · 136), в том числе и случаи, усложняющие умножение, когда у множителя имеются нули на конце и в середине (2450 · 600, 1623 · 204). Полезно обратить внимание учеников на то, как можно упрощать процесс умножения многозначных чисел. Так, удобнее умножать на множитель, у которого меньше цифр, либо на число, в записи которого содержатся одинаковые цифры или цифры, меньшие, чем у другого множителя (1476 · 35, 742 · 2111, 678 · 123).
Деление — это самая трудная для учащихся вычислительная операция, а времени, отводимого начальной школой для овладения ею, явно недостаточно. Надо обратить внимание на случаи деления на однозначное, двузначное и трёхзначное числа (51 500 : 5, 35 719 : 23, 6732 : 33,
19 360 : 605).
Здесь также должно быть уделено внимание уяснению взаимосвязи умножения и деления, чему способствует выполнение упражнений типа 197—200.
Продолжается формирование навыков самоконтроля. Проверка вычислений осуществляется с помощью обратной операции (упражнение 198), а также с использованием приёмов прикидки результата (упражнения 204—206), поиска цифры, которой должен оканчиваться ответ (упражнение 205).
Здесь надо продолжить формирование навыков устного счёта. С этой целью можно использовать задания из рабочей тетради. Кроме того, можно предлагать задачи типа:
«Во сколько раз груз в 75 кг (90 кг, 60 кг) тяжелее груза в 15 кг?»,
«С какой скоростью шёл лыжник, если он прошёл 48 км за 3 ч (56 км за 4 ч, 60 км за 4 ч)?»,
«Ленту длиной 48 см (90 см, 52 см) разрезали пополам. Какова длина каждой части ленты?».
Комментарий к упражнениям
200. а) 2880 = 45 · 64; б) 10 323 = 111 · 93.
206. Используются два приёма: определение последней цифры результата и прикидка.
208—210. При решении этих задач следует напомнить учащимся, как связаны между собой расстояние, время и скорость движения.
211. Условия задач целесообразно изображать в виде схематического рисунка.
215. (Практическая ситуация.) При решении задачи целесообразно сочетать коллективную и групповую формы работы. Таблицу надо перенести в тетради, а также в той или иной форме представить для всеобщего обозрения (начертить на доске, использовать интерактивную доску, проектор и т. д.). Сначала совместно вместе с учителем разобраться в условии задачи, проанализировать таблицу. Можно обратить внимание школьников на наличие закономерности в последовательности чисел, записанных в верхней строке: масса каждой следующей упаковки увеличивается на 200 г по сравнению с предыдущей. Значит, число шоколадок увеличивается на 4 в каждой следующей упаковке. Установив эту закономерность, легко заполнить вторую строку таблицы. Далее можно разбить учащихся на группы для заполнения третьей строки и затем внести результаты вычислений в «общую» таблицу. Понятно (это выясняется в ходе коллективного обсуждения), что для 60 участников выгоднее всего взять самые большие упаковки по 30 шоколадок в каждой. Если планируется каждому участнику выдать по одной шоколадке, то всего надо 2 упаковки, т. е. стоимость покупки составит 720 р.
Дополнительное задание: рассчитать наиболее выгодную стоимость покупки для 76 человек, если каждому предполагается выдать по одной шоколадке. Можно также составить несколько заданий — для каждой группы отдельное.
219. б) Сделав рисунок по условию задачи (рис. 4), можно заметить, что расстояние, равное 560 – 240 = 320 (м), Андрей проходит за 12 – 8 = 4 (мин).
Ответ. Расстояние от дома до станции 1200 м; вся дорога занимает
15 мин.