Как записывают и читают натуральные числа

Методический комментарий

Хотя содержание пункта носит идейный характер (оно направлено на осознание учащимися особенностей десятичной нумерации), важнейшей задачей при его изучении является формирование прочных навыков чтения и записи натуральных чисел, в том числе с использованием сокращений тыс., млн, млрд. Этой цели служат такие упражнения, как 62—65. Известно, что ошибки в записи натуральных чисел, а потом и десятичных дробей являются достаточно распространёнными. Поэтому рекомендуем упражнения, подобные указанным, предлагать учащимся в последующем в качестве устных вопросов. Приведём ещё примеры заданий такого рода:

• Прочитайте числа:

24301; 2485321; 2400021; 248021; 2405301; 2480301.

• Запишите цифрами число:

а) триста девятнадцать тысяч двести двадцать пять;

б) сорок тысяч сто двенадцать;

в) шесть тысяч двадцать семь;

г) пятьсот тысяч десять.

Работу по формированию навыков чтения и записи натуральных чисел следует сопровождать советами, как действовать, чтобы не допускать ошибок, обучением приёмам самоконтроля. Например: при чтении многозначного числа всегда следует сначала разбить его на классы (мысленно или с помощью штрихов) и осознать, с какого класса начинается запись; при записи числа важно помнить, что каждый класс, кроме, может быть, самого левого, должен содержать 3 цифры, и не забывать записывать нули в «пустые» разряды; записанное число нужно прочитать (про себя или вслух) – это поможет увидеть возможную ошибку в записи.

В то же время при организации работы учащихся по чтению и записи чисел в римской нумерации рекомендуем иметь в виду, что соответствующие знания носят общекультурный характер; формирование навыков здесь не предполагается. Эта установка должна отразиться на характере работы с упражнениями. Учащиеся могут иметь перед глазами таблицу перевода римских цифр в десятичную систему (как в упражнении 61), обращаться при необходимости к правилам записи чисел в римской системе. Такая работа очень полезна; она апеллирует не столько к памяти, сколько к умению действовать по предложенному алгоритму.

Комментарий к упражнениям

62. Натуральное число – это краткая запись суммы разрядных слагаемых в виде последовательности цифр. Слагаемых должно быть столько же, сколько цифр в записи числа, т. е. не следует пропускать слагаемые с коэффициентом 0.

64. Неверную запись надо заменить на правильную.

68—69. Прежде чем приступать к выполнению этих упражнений, следует убедиться, что все учащиеся понимают смысл слов «однозначное число», «двузначное число» и т. д. А задание 68, а надо начать с того, что предложить всем ученикам записать несколько четырёхзначных чисел.

70. В каждой следующей фигуре на две клетки больше, чем в предыдущей. Последовательностью фигур на самом деле «зашифрована» последовательность чисел 5, 7, 9, 11. В задании предлагается перейти от рисования фигур к выписыванию чисел. Так как чисел немного, то все их можно попросту выписать.

71. Цель задания – познакомить учащихся со знаменитой легендой и организовать доступную их возрасту содержательную работу с числовой последовательностью, к которой они в дальнейшем будут возвращаться неоднократно. Задание выполняется путём рассмотрения и анализа последовательности чисел, записанных на «клетках» доски, выполнения арифметических операций, необходимых для получения ответа.

1) Ответ на последний вопрос можно получить простой прикидкой, не выполняя точного подсчёта. В самом деле, на 24-й клетке записано число, большее 8 млн. Значит, на 25-й клетке будет число, большее 16 млн, а на
26-й — число, большее 32 млн. Следовательно, оно заведомо превысит 20 млн. Учащиеся могут «почувствовать», как резко увеличивается скорость роста чисел.

2) На 11-й клетке на 1 зерно больше, чем на первых десяти клетках вместе.

Дополнительный вопрос: сколько всего зёрен на первых двадцати клетках? (Ответить без суммирования.)

3) В 256 раз.

Натуральный ряд. Сравнение натуральных чисел

Методический комментарий

Здесь продолжается изучение натуральных чисел. По сравнению с начальной школой этот этап можно охарактеризовать словом «осознание».

Термин «натуральный ряд», а также связанные с ним термины (предыдущее число, последующее число) должны войти в активный словарный запас учащихся. Обращаем внимание на распространённую ошибку – употребление вместо слов «натуральный ряд» оборота речи «натуральный ряд чисел». «Натуральный ряд» — это имя собственное, название последовательности чисел 1, 2, 3, … .

Важно, чтобы учащиеся осознали и запомнили, что в натуральном ряду есть наименьшее число, но нет наибольшего, что он бесконечен; понимали, что всегда можно указать число, следующее за данным, прибавив 1; умели указать «соседей» числа в натуральном ряду, в том числе в случаях перехода через разрядную единицу (см. упражнение 76); могли записать фрагмент натурального ряда с использованием многоточия. Эти знания и умения носят опорный характер, они неоднократно будут служить содержательной основой при изучении теории и выполнении упражнений.

Что касается понятий чётного и нечётного числа, то работа с ними в этом месте курса основана на определении (это числа, которые соответственно делятся и не делятся на 2). Признак, сводящийся к установлению чётности по последней цифре, будет рассмотрен позже в теме «Делимость». А здесь важно, чтобы учащиеся хорошо освоились с самими терминами, могли установить принадлежность числа к тому или иному виду с помощью определения, поняли, что если число – чётное, то его соседи в натуральном ряду — числа нечётные (и наоборот). В этой связи обращаем внимание на упражнение 79, в котором сделан простейший шаг для выражения указанных выше фактов с помощью буквенной символики.

Вторая часть пункта посвящена вопросу о сравнении натуральных чисел, а основная цель тоже состоит в развитии и осознании знаний и умений, заложенных в начальной школе. При выполнении заданий на сравнение чисел (см. упражнения 82—84) учащиеся должны опираться на приобретённый ранее опыт, при этом необходимо, чтобы постоянно звучал соответствующий комментарий. Это может быть любое разумное пояснение. Например, при сравнении чисел 5270 и 987 ученики могут рассуждать так: число 5270 больше, так как в натуральном ряду (или при счёте) оно появляется позже; в числе 5270 есть разряд тысяч, а число 987 начинается с разряда сотен; в числе 5270 больше цифр; число 5270 четырёхзначное, а число 987 трёхзначное. Следует обратить внимание на выработку навыка записывать результат сравнения и упорядочивания чисел с помощью знаков неравенства.

Комментарий к упражнениям

80. Можно сформулировать вывод с использованием буквы: чтобы найти чётное число, которое стоит на месте с номером n, надо номер n умножить
на 2. Можно также записать: n · 2.

81. Удобно сопоставить эту последовательность с последовательностью чётных чисел, выписав их друг под другом:

2 4 6 8 10 …

1 3 5 7 9 …

Вывод: каждое число в последовательности нечётных чисел на 1 меньше соответствующего числа последовательности чётных чисел. Чтобы узнать, какое нечётное число стоит на 20-м месте, умножим 20на 2 и отнимем 1; получим 20 · 2 – 1 = 39. Можно воспользоваться результатами
упражнения80. В общем виде правило записывается так: n · 2 – 1 (но это только для сильных учащихся).

85. Вывод учащиеся должны запомнить.

86. Следует обсудить возможность двух способов решения: переход от записи с сокращёнными наименованиями к записи в десятичной системе, т. е. к числу с нулями на конце, и наоборот. Важно, чтобы учащиеся осознали и запомнили, что сокращение тыс. равнозначно приписыванию трёх нулей, сокращение млн — шести нулей, сокращение млрд — девяти нулей.

87. Ошибок будет меньше, если сначала учащиеся запишут числа в нужном порядке, а потом вставят между ними соответствующий знак сравнения. Конечно, в дальнейшем эти два момента в записи следует совмещать.

89. В пунктах 2 и 4 приведены типичные ошибки. Неверные записи следует заменить правильными.

91. Нужно, прежде всего, проверить, что учащиеся помнят соотношения между единицами измерения величин (длины, массы, времени). Для этого можно использовать вопросы типа:

• Какое из равенств верно:

а) 1 км = 100 м или 1 км = 1000 м;

б) 1 кг = 1000 г или 1 кг = 100 г;

в) 1 ч = 100 мин или 1 ч = 60 мин?

• Выразите:

а) в сантиметрах: 1 м, 3 м, 30 м;

б) в килограммах: 1 т, 3 т, 10 т;

в) в секундах: 1 мин, 5 мин, 10 мин.

Далее следует пояснить, что приём сравнения величин состоит в переходе к одним и тем же единицам.

1а) Можно 10 м выразить в сантиметрах. Так как 10 м = 1000 см, то
980 см < 10 м.

Можно поступить иначе: выразить 980 см в метрах и сантиметрах. Так как 900 см = 9 м, то 980 см = 9 м 80 см. Понятно, что 9 м 80 см < 10 м.

Заметим, что для учащихся легче перейти к более мелким единицам. Но показать полезно и тот, и другой способ.

94. Задание трудное, вряд ли многие учащиеся выполнят его самостоятельно полностью, ответив на вопрос «Сколько?». Поэтому рекомендуем использовать это задание для обучения поиску хода рассуждений. Это можно сделать, например, так:

· Об искомых числах мы знаем, что они пятизначные, на конце цифра 7, они меньше числа 10101. Сделаем заготовку для цифр с учётом первых двух условий: _ _ _ _ 7.

· Что нам даёт третье условие? Так как в числе 10101 первая слева цифра — это 1, то и в искомых числах там должна стоять 1 (в любом другом случае получим число, большее 10101). Впишем её: 1 7. Точно такими же рассуждениями получаем, что дальше должна быть цифра 0; получаем

10 7.

· Если третьей слева, как и в числе 10101, поставить 1, то любое число, соответствующее нашей заготовке, будет больше числа 10101 (например, 10107). Поэтому третьей слева обязательно должна быть цифра 0; получим 100 7.

· Осталось определить цифру десятков. Понятно, что, какую цифру ни поставить, всегда получится число, меньшее 10101.

О т в е т. Всего таких чисел десять: 10007, 10017, 10027, …, 10097.

96. 1) Первый случай не подходит, так как высота больше 190 см.

Второй случай по высоте проходит. Проверим, выполняется ли второе требование, т. е. проверим, верно ли двойное неравенство

590 < 250 + 2 · 180 < 640.

Так как 250 + 2 · 180 = 610, то и второе требование выполняется.

В третьем случае имеем 280 + 2 · 185 = 650, т. е. второе требование не выполняется.

3) 180 мм = 18 см. Так как 270 : 18 = 15, то получится 15 ступенек.

Чтобы ступеньки удовлетворяли второму требованию, должно выполняться условие:

590 < Г + 2 · 180 < 640.

Границы глубины определяются подбором (понятно, что никакое формальное решение неравенства не предполагается).

О т в е т: 230 мм < Г < 280 мм.

Числа и точки на прямой

Методический комментарий

В содержании этого пункта можно выделить два вопроса: это, во-первых, координатная прямая, изображение чисел точками на прямой, а во-вторых, геометрическая трактовка отношений «больше» и «меньше» между числами и сравнение чисел с опорой на координатную прямую.

На начальном этапе изучения материала должны преимущественно выполняться упражнения на готовом чертеже. После этого можно перейти к заданиям, в ходе которых учащиеся самостоятельно чертят координатную прямую. Они должны научиться быстро и аккуратно чертить координатную прямую (по линейке или от руки), так как с этого момента координатная прямая становится опорой при рассмотрении самого разнообразного материала. Обращаем внимание на то, что нередко учащиеся отмечают точки 0, 1, 2, 3, … на неодинаковом расстоянии друг от друга. Предупреждением такого рода ошибок может послужить рассмотрение в качестве прообраза координатной прямой шкалы чертёжной линейки. Пусть учащиеся увидят в ней не только инструмент для измерения и откладывания отрезков определённой длины, но и «кусок» готовой координатной прямой и перенесут её изображение на нелинованную бумагу, сначала приняв за единичный отрезок 1 см, а затем более крупный (или мелкий) отрезок.

Кроме того, желательно сформировать умение выбирать подходящий для данной ситуации единичный отрезок, разобраться в ситуации, когда поиск координаты точки осуществляется с учётом расположения других точек
(в этом помогут задания из рабочей тетради). Заметим также, что в дальнейшем учащимся придётся научиться представлять координатную прямую мысленно.

Комментарий к упражнениям

107. Ответы полезно сопровождать схематическими рисунками.

109. Можно использовать модель координатной прямой или заранее заготовленный чертёж.

111. Это задание – развитие идеи упражнения 109. Учащиеся должны понять, что количество пар определяется количеством точек с натуральными абсциссами, расположенных левее точки М(50).

112. 2) Ни одно из неравенств. Дополните это задание таким вопросом:

«Пусть а < 30. Какое из двух неравенств обязательно будет верным:
a < 20 или а < 40?»

113. Оба числа четырёхзначные, чётные, начинаются с цифры 2, в разряде десятков имеют цифру 1.