Вопрос 5. «Формирование смысла арифметических действий и их свойств в курсе математики начальных классов.»

1. Теоретические положения, определяющие технологии введения смысла арифметических действий сложения и вычитания.

2. Виды практических ситуаций, соответствующих действиям сложения и вычитания.

3. Технологии ознакомления детей со смыслом арифметических действий сложения и вычитания.

4. Особенности технологий введения арифметического действия умножения.

5. Знакомство с действием деления.

В начальной школе изучают четыре арифметических действия: в 1 классе дети знакомятся с действиями первой ступени: сложением и вычитанием, во 2 – с действиями второй ступени: умножением и делением.

В математике существует несколько подходов к определению данных действий на множестве целых неотрицательных чисел: теоретико-множественный, аксиоматический и через измерение величин. В существующих образовательных системах для ознакомления детей со смыслом сложения и вычитания используют преимущественно теоретико-множественный подход, поскольку он позволяет представить смысл арифметических действий через предметные ситуации, смысл которых легко воспринимается детьми младшего школьного возраста.

Определение математических операций из математики.

Методическая интерпретация теоретико-множественного подхода к изучению данного материала в альтернативных образовательных системах различна, и зависит от концепций, положенных в основу каждой технологии, предпочтений автора учебника математики в начальных классах в выборе упражнений для моделирования практических ситуаций, объема вводимых понятий. Все это неизбежно ведет к различиям в системе заданий, с помощью которых учащиеся усваивают смысл арифметических действий, последовательности введения понятий и к различиям в используемых методах обучения.

С теоретико-множественной точки зрения сложению соответствуют следующие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов):

– объединение элементов двух совокупностей (В коробку положили три цветных карандаша и один простой карандаш. Всего в коробку положили 4 карандаша.);

– увеличение на несколько элементов данной совокупности (Утром на клумбе цвели 5 тюльпанов, к обеду их стало на 2 тюльпана больше, чем утром. Всего на клумбе к обеду цвело 7 тюльпанов) ;

– увеличение на несколько элементов совокупности, сравниваемой с данной (На одной полке было 6 книг, а на второй на 3 книги больше, чем на первой. На второй полке было 9 книг.).

Вычитанию соответствуют следующие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов):

– удаление правильной части из данного множества;

– уменьшение на несколько элементов данной совокупности;

– уменьшение на несколько элементов совокупности, сравниваемой с данной;

– разностное сравнение двух совокупностей.

Обучение моделированию всем выше названным ситуациям, сначала на предметных моделях (правильное представление их со слов учителя, показ руками, как процесса, так и результата предметного действия), затем словесная их характеристика и изображение на графических моделях.

Знакомство со знаками действий и символической записью выражений, составленных с этими знаками действий.

Закрепление этих знаний осуществляется через совокупность заданий

После введения понятия через теоретико – множественнымй подход используется аксиоматический подход к определению действия вычитания, при котором вычитание трактуется как действие обратное сложению.

В курсе математикидействие умножения определяется следующим образом.Если а, b – целые неотрицательные числа, то произведением а*b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

– а*b = а+а+а+…+а (а повторяется b раз), если b больше1;

– а*b = а, если b=1;

– а*b=0, если b=0.

Анализ определения показывает, что осознание смысла умножения предполагает отработку следующих умений.

– Среди выражений содержащих знак сложения выделять те, которые содержат одинаковые слагаемые.

– Заменять выражение, содержащее сложение одинаковых слагаемых выражением, содержащим знак умножения.

– Находить значение простого выражения со знаком умножения через замену его выражением на сложение одинаковых слагаемых.

– Находить результат умножения в том случае, когда один из множителей равен нулю или единице.

Закрепляется этот материал через совокупность упражнений следующих видов:

– на выделение признаков сходства и различия составных выражений на сложение, где присутствуют и выражения на сложение одинаковых слагаемых;

– на соотнесение рисунка и числового выражения на умножение или сложение одинаковых слагаемых;

– на запись числового выражения под заданным рисунком;

– на выбор числового выражения, соответствующего рисунку;

– на замену произведения суммой одинаковых слагаемых и суммы одинаковых слагаемых произведением;

– на сравнение числовых выражений;

– на чтение простых выражений со знаком умножения разными формулировками;

– Вычисление значений выражений на умножение путем преобразования их в составные выражения на сложение одинаковых слагаемых.

Действие умножения может быть введено не только через практическую ситуацию, но и через задачу.В этом случае последовательность действий учителя может быть таковой.

1. Детям предлагается задача с заведомо нелаконичным текстом:»

2. Записывается решение задачи в виде составного выражения, вычислив значение которого можно ответить на вопрос задачи. (2+2+2+2+2=10 (ш.))

3. Проводится беседа о возможности преобразования текста задачи.

4. Преобразуется текст задачи.

5. Сообщается, что эту задачу можно решить с помощью нового математического действия – умножения. Записывается выражение со знаком умножения (по 2 шарика взять 5 раз (2*5)). Устанавливается, что решалась одна и та же задача, но решение записано разными выражениями. В этом случае можно утверждать, что данные выражения равны, т.е. 2+2+2+2+2 = 2*5.

Далее проводится такая же работа, как и в предыдущем случае.

На наш взгляд оба эти подхода должны дополнять друг друга, поскольку отсутствие второго подхода вызывает у детей затруднения в установлении особенностей задач на нахождение значения произведения и в выборе действия при решении таких задач.

Умножение с нулем и единицей рассматривается в виде четырех постулатов

В математике существует несколько подходов к определению действия деления. В начальных классах действие деления вводится, т.е. осуществляется первое знакомство с этим действием, с опорой на теоретико-множественный смысл этого действия, а затем дается и определение деления соответствующее аксиоматическому способу построения арифметики натуральных чисел.

В начальных классах сохраняются оба подхода к определению данного действия, поскольку первый подход необходим для решения задач, т.е. он связан со смысловой частью текста задачи и помогает правильно выбрать и обосновать выбор действия, с помощью которого решается соответствующая задача. Второй подход необходим для вычисления значений выражений, в которых не ясно делят ли множество на части или по содержанию. В этом случае достаточно знать, что для нахождения значения выражения 12 : 2, достаточно подобрать такое число, которое при умножении на 2 даст нам число 12, это будет число 6, т.к. 6 * 2 = 12.

Во всех образовательных системах вначале дети знакомятся с теоретико-множественным подходом к действию деления, а затем с аксиоматическим.

Знакомство с теоретико-множественным смыслом действия деления может осуществляться двумя способами:

– через решение задач;

– через установление соответствия между предметными моделями и символическими записями.

Вопрос 6. Содержание понятий величина, виды величин, способы измерения величин Технологии изучения данных понятий в курсе математики начальных классов.

План

1. Содержание понятий «величина», «виды величин», «тройки взаимосвязанных величин».

2. Этапы формирования представления о величине в курсе математики начальных классов.

3. Положения, определяющие методику изучения величин в курсе математики начальной школы.

4. Формирование представлений о длине и навыков ее измерения.

в толковом словаре, слово «величина» употребляется в двух значениях. [95]

1-е значение. Под величиной понимается свойство предметов или объектов, по которому их можно сравнивать и которое можно измерить. В этом значении термин «величина» является родовым понятием, к которому как видовые относятся понятия: «длина», «объем», «время», «скорость» и др.

2-е значение. «Величина» – это количественная характеристика свойства предмета, выраженная в единицах измерения. В этом значении слово «величина» употребляется для выражения числового значения свойства предмета (например, высота дома 16 метров). В математике термин «величина» чаще используется во втором значении. Математика оперирует численными значениями величин с указанием единицы измерения, которую использовали при измерении. Такие записи называют именованными числами 16 см, 24 кг и т. д. или величинами. Поскольку в начальных классах впервые дается представление о величинах и их измерении, то разумно различать понятия «величина» и «значение величины».

Итак, под величиной будем понимать общее свойство множества объектов, по которому их можно сравнивать. Сравнивая объекты по определенному свойству, мы получаем численное значение величины.

Каждое из свойств получило свое название:

– свойство протяженности называют длиной;

– свойство продолжительности, длительности называют величиной время;

– свойство занимать место в пространстве, вместимость – объем;

– свойство занимать место на плоскости – площадь и др.

Каждая величина имеет область определения – множество всех объектов, обладающих данным свойством – величиной и по этому свойству их можно сравнивать. Величины, которые выражают одно какое-либо свойство различных объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами.

Один и тот же объект может обладать несколькими свойствами, которые являются величинами. Например, для человека – это рост, масса, возраст и др. Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величинами. Так, например, длина и масса – это разнородные величины.

Различают два основных вида сравнения – непосредственный и косвенный. При использовании непосредственного способа пользуются различными практическими действиями, выбор которых зависит от сравниваемой величины. Например, длины объектов или площади можно сравнивать визуально (на глаз), приложением или наложением площади одного объекта на площадь другого.

Косвенным измерением величины называют отображение области определения величины во множество действительных чисел.

Измерение – вид деятельности, цель которой – выразить величину предмета числовым значением. При этом объект измерения – измеряемая величина; средство измерения – выбранная мерка, результат измерения – устанавливается численное отношение между измеряемой величиной и заранее выбранной единицей измерения данной величины.

Между некоторыми разнородными величинами могут устанавливаться различные связи, зависимости. Три величины называют взаимосвязанными, если они характеризуют одно и тоже явление и значение одной из них может быть выражено через значения двух других величин.

Примерная программа по математике, составленная в соответствии с проектом Концепции стандарта образования второго поколения рекомендует следующие «тройки» взаимосвязанных величин для изучения в начальной школе:

– скорость, время, пройденный путь;

– производительность труда, время, объем всей работы;

– расход на предмет, количество предметов, общий расход;

– цена, количество, общая стоимость товара.

При изучении величин в методике преподавания математики выделяются следующие этапы:

1. Выявление представлений ребенка о данной величине. Введение понятия и соответствующего термина.

2. Сравнение однородных величин (визуально, ощущением, наложением, приложением, с помощью различных мерок).

3. Знакомство с единицей измерения величины, с измерительным прибором.

4. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах одного наименования.

5. Знакомство с новыми единицами измерения величин происходит в тесной связи с изучением нумерации по концентрам.

6. Перевод величин, выраженных в единицах одних наименований, в однородные величины, выраженные в единицах других наименований.

7. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах разных наименований.

8. Умножение и деление величины на число.

9. Сравнение величин.

Для формирования правильного представления о величинах важно уделять внимание следующим вопросам:

· соблюдению этапов формирования представлений о величине

· практическим работам, связанным с формированием представлений о величине и способах ее измерения (непосредственных и косвенных)

· формированию измерительных навыков и правил построения объектов, обладающих данным свойством - величиной

· формированию умений перевода величин, выраженных в единицах одних наименований в другие.

· формирование умений выполнять действия над величинами (именованными числами).