Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии

Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т. к. они выходят из строя в результате разрушения или оста­точных деформаций. Длинные стержни небольшого поперечного се­чения под действием осевых сжимающих сил изгибаются и теряют равновесие. Такие стержни работают на изгиб и сжатие.

Равновесие считают устойчивым, если за счет сил упругости после снятия внешней отклоняющей силы стержень восстановит первоначальную форму (рис. 36.1).

Если упругое тело после отклонения от равновесно­го положения не возвращается к исходному состоянию, то говорят, что произошла потеря устойчивости, а равновесие было неустойчивым.

Потерю устойчивости под действием центрально приложенной продольной сжимающей силы называют продольным изгибом.

На устойчивость равновесия влияет величина сжимающей силы.

Наибольшее значение сжимающей силы, при которой прямоли­нейная форма стержня сохраняет устойчивость, называют критиче­ской силой. Даже при небольшом превышении критического значе­ния силы стержень недопустимо деформируется и разрушается.

Расчет на устойчивость

Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:

где F — действующая сжимающая сила;

[F] — допускаемая сжимающая сила, обеспечивает некоторый запас устойчивости;

F_KP — критическая сила;

[s_y] — допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Обычно для сталей [s_у] = 1,8 – 3; для чугуна [s_y] = 5; для дерева [s_у] = 2,8.

Способы определения критической силы

Расчет по формуле Эйлера

Задачу определения критической силы математически р решил JI. Эйлер в 1744 г.

Для шарнирно закрепленного с обеих сторон стержня (рис. 36.2) формула Эйлера имеет вид

где Е — модуль упругости; лт^гт

J_min -- минимальный осевой момент инерции стержня;

l — длина стержня.

Потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, поэтому в формулу входит минимальный из осевых мо­ментов инерции сечения (J_x или J_y).

Формулу распространили на другие формы закрепления стерж­ней, рассмотрев форму потери устойчивости в каждом случае.

Длина стержня заменяется ее приведенным значением, учиты­вающим форму потери устойчивости в каждом случае: l_ПРИВ = μl, где μ — коэффициент приведения длины, зависящий от способа за­крепления стержня (рис. 36.3).

Формула для расчета критической силы для всех случаев

Критические напряжения.

Критическое напряжение — напряжение сжатия, соответству­ющее критической силе.

Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле

где σ_кр — напряжение сжатия, при котором стержень еще устойчив. Корень квадратный из отношения минимального момента инерции сечения к площади поперечного сечения принято называть мини­мальным радиусом инерции i_т;_п:

Тогда формула для расчета критического напряжения перепи­шется в виде

Отношение μl/i_min носит название гибкости стержня λ.

Гибкость стержня — величина безразмерная, чем больше гиб­кость, тем меньше напряжение:

Заметим, что гибкость не зависит от материала, а определяется только геометрией стержня.