Безразмерная математическая модель системы управления манипулятором.
Полученные выше уравнения движения манипулятора являются размерными, т.е. коэффициенты уравнений имеют определенную физическую размерность и их нельзя сравнивать между собой с целью выяснения, какие из них являются существенными для моделирования процессов в манипуляторы, а какие несущественны и могут быть, например, отброшены для снижения трудностей при решении этих уравнений.
Существует специальная наука - “Теория подобия и размерности” [17 ], которая предписывает, как привести размерные дифференциальные уравнения к безразмерному виду, чтобы можно было сравнивать в уравнениях отдельные члены уравнений и, кроме того, как строить физические модели для проверки правильности принятых решений об отбрасывании некоторых несущественных членов дифференциальных уравнений.
Согласно “Теории подобия и размерности” необходимо выбрать в системе, математическое моделирование которой производится, некоторые, характерные именно для этой системы, параметры, определяющие протекание в системе процессов.
Известно [16], что в гибких стержнях характерные процессы определяются такими параметрами стержней и их материала:
E - модуль упругости материала;
J – момент инерции поперечного сечения стержня;
s – длина стержня;
ρ – плотность материала стержня.
Их этих параметров можно составить комбинацию, имеющую размерность времени . Эта комбинация представляет собой характерное время протекающих в стержнях процессов,
С помощью T можно все процессы в стержне согласовать по времени, введя безразмерное время t = t*/T.
Для приведения различных параметров в дифференциальных уравнениях, имеющих размерность длины, необходимо ввести единые масштабы измерения длин элементов манипулятора. В качестве такой единой линейки выберем самый главный размер, от которого зависит возможность выполнения манипулятором своих рабочих функций. Это будет d - характерный прогиб стержня.
Имея единый масштаб длины можно ввести безразмерные переменные:
y1= y1*/δ , y1 - безразмерное упругое перемещение конца стержня;
y=y*/d, y – безразмерный прогиб стержня;
z=z*/s, z – безразмерная координата поперечного сечения стержня.
,
Здесь a0, a1, a2, J0, J1, J2, m2 , k0, L1, L2, N2, g – безразмерные значения соответствующих размерных переменных и параметров.
Теперь можно представить уравнения движения манипулятора в безразмерной форме.
Окончательно можно записать:
Обыкновенные дифференциальные уравнения движения абсолютно твердых вала и исполнительного органа.
(2.8)
(2.9)
Дифференциальное уравнение с частными производными, моделирующее процессы изгиба стержня.
(2.10)
Граничные условия.
(2.11)
Начальные условия.
(2.12)
Уравнения связи абсолютно твердых вала и исполнительного органа через гибкий стержень.
(2.13)
Проведем прямое интегральное преобразование Лапласа и получим уравнения системы управления манипулятором в изображениях
, (2.14)
, (2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Здесь a0(l), a1(l), a2(l), y1(l), y(z,l) L1(l), L2(l), N2(l) – изображения соответствующих оригиналов; A(l) и B(l) – многочлены; П(l) – рациональная дробь; l – произвольный комплексный параметр.
Выберем характерный прогиб d стержня, используя методы теории упругости.
Согласно этой теории [1] в стержне будут отсутствовать пластические деформации, если его характерный прогиб d удовлетворяет условию ; поэтому принимаем
,где d - характерный диаметральный размер поперечного сечения стержня в направлении изгиба.