Z - тесты о равенстве средних значений выборок с известными дисперсиями

Если генеральные совокупности распределены нормально, причем их дисперсии известны априори или найдены теоретически, для сравнения средних значений двух выборок объемом n₁ и n₂ с известными дисперсиями используется инструмент «Двухвыборочный z-тест для средних». Сущность z-теста заключается в определении математических ожиданий и . По этим оценкам при заданном уровне значимости α проверяется нулевая гипотеза, состоящая в том, что математические ожидания рассматриваемых совокупностей равны между собой. Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, то различие выборочных средних и незначимо и объясняется случайными причинами. Если нулевая гипотеза будет отвергнута, то различие средних значений выборок значимо и не может быть объяснено случайными причинами, и средние значения генеральных совокупностей, соответствующих этим выборкам, действительно различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину, имеющую нормальное распределение:

(7.4)

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. При этом рассматриваются три случая.

1. Нулевая гипотеза заключается в равенстве математических ожиданий H₀: M[X]=M[Y]. Конкурирующая гипотеза Н₁: М[X]≠М[Y]. Тогда строят двустороннюю критическую область для принятого уровня значимости α:

- вычисляют значение критерия Z по формуле (7.4);

- вычисляют значение функции Лапласа в критической точке:

(7.5)

- по значению функции Лапласа (по таблицам или в рамках программы) определяют критическое значение z_Кр («z критическое двухстороннее»);

- если │z_B│< z_Кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если │z_B│> z_Кр, нулевую гипотезу отвергают и делают вывод: математические ожидания совокупностей не равны (М[X]≠М[Y]).

2. Нулевая гипотеза H₀: M[X]=M[Y]. Конкурирующая гипотеза Н₁: M[X]>M[Y]. На практике такой случай имеет место, если практические соображения заставляют предположить, что генеральная средняя одной совокупности больше генеральной средней другой совокупности. Например, введено усовершенствование технологического процесса и предполагается, что оно приведёт к увеличению производительности. Сделанные выборки как будто подтверждают это предположение: . Необходимо установить, насколько эти выборки отражают генеральные совокупности, а различие средних отражает различие математических ожиданий. В этом случае строят правостороннюю критическую область:

- вычисляют то же значение критерия по формуле (7.4), но другое значение функции Лапласа в критической точке:

(7.6)

- по значению функции Лапласа определяют критическое значение z_Кр («z критическое одностороннее»);

- если │z_B│< z_Кр, оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет. Если │z_B│> z_Кр, нулевую гипотезу отвергают.

3. Нулевая гипотеза Н₀: M[х]=M[Y]. Конкурирующая гипотеза Н₁: M[x]< M[Y] (противоположная предыдущей). Расчёт аналогичен, но найденное критическое значение z_Кр берётся со знаком «минус».

Если z_B > - z_Кр, оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет. Если z_B < - z_Кр, нулевую гипотезу отвергают.