Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле

Таблица 1.1. Численные результаты дифференцирования

n z(n) z(n)-z(n/2) z(n/2)/(z(n))
-0.000358511984808    
-0.373112279676952 -0.37275376769214413  
-0.552093115284467 -0.17898083560751471 2.0826462588964000
-0.633414140453275 -0.081321025168807681 2.2009171089024300
-0.671307996898084 -0.037893856444809804 2.1460213553943600
-0.689480398507963 -0.018172401609878319 2.0852420752251400
-0.69836319092666 -0.0088827924186970497 2.0457982977997900
-0.702752552202192 -0.0043893612755322442 2.0237095698212400
-0.704934078792892 -0.0021815265906995895 2.0120594881786500
-0.706021535573751 -0.0010874567808594193 2.0060811878674000

Таблица 1.2. Вычисление экстраполированного значения

Нулевая экстраполяция Первая экстраполяция Вторая экстраполяция Третья экстраполяция
-0.000358511984808      
-0.373112279676952 -0.49736353557433300    
-0.552093115284467 -0.61175339382030500 -0.62809480214115900  
-0.633414140453275 -0.66052114884287800 -0.6674879709889600 -0.67011418224548000
-0.671307996898084 -0.68393928237968700 -0.68728473002780300 -0.68860451396372500
-0.689480398507963 -0.69553789711256000 -0.69719480618719500 -0.69785547793115400
-0.69836319092666 -0.70132412173289200 -0.70215072973598300 -0.70248124639236000
-0.702752552202192 -0.70421567262736900 -0.70462875132658000 -0.70479395276595400
-0.704934078792892 -0.70566125432331250 -0.70586776599398000 -0.70595036697177200
-0.706021535573751 -0.70638402116737100 -0.70648882735769100 -0.70652857407900800

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.1. График полученных результатов в сравнении с точным результатом

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.2. График полученных результатов в сравнении с «эталонным» значением

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.3. Оценка результатов по правилу Рунге

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по правой разностной формуле

Таблица 1.1. Численные результаты дифференцирования

n z(n) z(n)-z(n/2) z(n/2)/(z(n))
-0.90041417207315    
-0.900265755158751 0.00014841691439881899  
-0.826087716941325 0.074178038217425968 0.0020008201614069500
-0.771739035556969 0.054348681384355446 1.3648544238421500000
-0.740637194905451 0.031101840651518109 1.7474426029413600000
-0.724165866423073 0.016471328482378311 1.8882411752514500000
-0.715708534283193 0.0084573321398799806 1.9475797107114400000
-0.711425550079869 0.0042829842033242915 1.9746353800035400000
-0.709270618507429 0.0021549315724400664 1.9875267772306100000
-0.708189810528028 0.0010808079794009107 1.9938153802622800000

Таблица 1.2. Вычисление экстраполированного значения

Нулевая экстраполяция Первая экстраполяция Вторая экстраполяция Третья экстраполяция
-0.90041417207315      
-0.900265755158751 -0.900216282853951000    
-0.826087716941325 -0.801361704202183000 -0.787239621537645000  
-0.771739035556969 -0.753622808428850000 -0.746802966175517000 -0.744107189151375000
-0.740637194905451 -0.730269914688278000 -0.726933787011054000 -0.725609175066756000
-0.724165866423073 -0.718675423595614000 -0.717019067725233000 -0.716358086439512000
-0.715708534283193 -0.712889423569900000 -0.71206285213765500 -0.711732437765150000
0.711425550079869 -0.70999788867876100 -0.70958481226574100 -0.709419609607614000
-0.709270618507429 -0.708552307983282000 -0.70834579645535700 -0.708263195401331000
-0.708189810528028 -0.70782954120156100 -0.70772628880417200 -0.70768498829409300


Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.1. График полученных результатов в сравнении с точным результатом

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.2. График полученных результатов в сравнении с «эталонным» значением

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.3. Оценка результатов по правилу Рунге

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по центральной разностной формуле

Таблица 1.1. Численные результаты дифференцирования

n z(n) z(n)-z(n/2) z(n/2)/(z(n))
-0.4503863420289790    
-0.6366890174178510 -0.18630267538887200  
-0.6890904161128960 -0.05240139869504500 3.55529966810769000
-0.7025765880051220 -0.01348617189222600 3.88556508947149000
-0.7059725959017680 -0.00339600789664596 3.97118390258913000
-0.7068231324655180 -0.00085053656375000 3.99278295770497000
-0.7070358626049240 -0.00021273013940603 3.99819492491654000
-0.7070890511410300 -0.00005318853610603 3.99954868060222000
-0.7071023486501600 -0.00001329750912992 3.99988716580921000
-0.7071056730508890 -0.00000332440072903 3.99997178853915000

Таблица 1.2. Вычисление экстраполированного значения

Нулевая экстраполяция Первая экстраполяция Вторая экстраполяция Третья экстраполяция
-0.4503863420289790      
-0.6366890174178510 -0.69878990921414200    
-0.6890904161128960 -0.70655754901124400 -0.70766721183940200  
-0.7025765880051220 -0.70707197863586400 -0.70714546858223800 -0.70711068569842700
-0.7059725959017680 -0.70710459853398300 -0.70710925851942900 -0.70710684451524200
-0.7068231324655180 -0.70710664465343500 -0.70710693695621300 -0.70710678218533200
-0.7070358626049240 -0.70710677265139300 -0.70710679093681500 -0.70710678120218900
-0.7070890511410300 -0.70710678065306500 -0.70710678179616100 -0.70710678118678500
-0.7071023486501600 -0.70710678115320300 -0.70710678122465200 -0.70710678118655100
-0.7071056730508890 -0.70710678118446500 -0.70710678118893100 -0.70710678118655000


Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.1. График полученных результатов в сравнении с точным результатом

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.2. График полученных результатов в сравнении с «эталонным» значением

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.3. Оценка результатов по правилу Рунге

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по второй производной

Таблица 1.1. Численные результаты дифференцирования

n z(n) z(n)-z(n/2) z(n/2)/(z(n))
-0.5732838599288800    
-0.6715330897857300 -0.09824922985685000  
-0.6980754182340320 -0.02654232844830200 3.70160553352415000
-0.7048402298277430 -0.00676481159371101 3.92358723973590000
-0.7065395975273050 -0.00169936769956203 3.98078155507750000
-0.7070713215402000 -0.00053172401289503 3.19595816316369000
-0.7069649511360020 -0.00010637040419800 -4.9987965816611400
-0.7070979161417810 -0.00013296500577897 -0.7999879635612500
-0.7071045649181360 -0.00000664877635503 19.9984175551799000
-0.7071062271271690 -0.00000166220903297 3.99996403770588000

Таблица 1.2. Вычисление экстраполированного значения

Нулевая экстраполяция Первая экстраполяция Вторая экстраполяция Третья экстраполяция
-0.5732838599288800      
-0.6715330897857300 -0.70428283307134700    
-0.6980754182340320 -0.70692286105013300 -0.70730000790424500  
-0.7048402298277430 -0.70709516702564700 -0.70711978216500600 -0.70710776711572300
-0.7065395975273050 -0.70710605342715900 -0.70710760862737500 -0.70710679705820000
-0.7070713215402000 -0.70724856287783200 -0.70726892137078500 -0.70727967555367900
-0.7069649511360020 -0.70692949433460300 -0.70688391311414100 -0.70685824589703200
-0.7070979161417810 -0.70714223781037400 -0.70717262973548400 -0.70719187751024000
-0.7071045649181360 -0.70710678117692100 -0.70710171594357100 -0.70709698835744300
-0.7071062271271690 -0.70710678119684700 -0.70710678119969300 -0.70710711888343500

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.1. График полученных результатов в сравнении с точным результатом

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.2. График полученных результатов в сравнении с «эталонным» значением

Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле - student2.ru

Рисунок 1.3. Оценка результатов по правилу Рунге

Заключение

В результате выполненной работы “численное дифференцирование методом левой, правой и центрально-разностной формулами“ были получены следующие результаты. Были вычислены погрешности по методу Ромберга и Эйткена, и получены следующие графики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 2004. -636 с.

2. Самарский А.А. Численные методы математической физики.-М.: Научный мир, 2000.-316с.:

3. Самарский А.А. Задачи и упражнения по численным методам.-М.: Эдиториал УРСС, 2000.-208с

4. Самарский А. А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский , А. П. Михайлов.-2-е изд., испр..-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.-320 с.;

5. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислитель­ные методы. Т. I, II. -М.: Наука, 1987. -600 с.

6. Васильков Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб.пособие.-М.: Финансы и статистика, 2001.-256с.

7. Подвальный С. Л. Численные методы и вычислительный эксперимент: учебное пособие для вузов / С. Л. Подвальный, Л. В. Холопкина , Д. В. Попов; УГАТУ; Воронеж. гос. техн. ун-т.-Уфа: УГАТУ, 2005.-224 с.; 21 см.-Библиогр.: с. 220-224 (49 назв.).-ISBN 5-86911-491-8.

8. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Ураков А.Р. Линейные некорректные задачи. Верификация численных результатов. Учебное пособие. -Уфа: УГАТУ, 2002. -91 с.

9. Smith D.A., Ford W.F. Acceleration of linear and logarithmic convergence. – SIAM J. Numer. Anal., 1979, v. 16. -P. 223-240.

10. Smith D. A., Ford W. F. Numerical comparisons of non-linear convergence accelerations. – Mathematics of Computation, 1982, v. 38, 158. -P. 481–499.

11. Прудников А. П. Интегралы и ряды. В 3-х т. / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Наши рекомендации