Признаки существования предела
Основные свойства функций.
Область определения функции и область значений функции.
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
Нули функции.
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
Монотонность функции.
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Четность (нечетность) функции.
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Ограниченная и неограниченная функции.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
Периодическость функции.
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.
5)
Линейная | y = kx | Прямая | Cамый простой частный случай линейной зависимости - прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента. | |
Линейная | y = kx + b | Прямая | Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b - любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1. | |
Квадратичная | y = x2 | Парабола | Простейший случай квадратичной зависимости - симметричная парабола с вершиной в начале координат. | |
Квадратичная | y = ax2 + bx + c | Парабола | Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a - произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c - любые действительные числа. | |
Степенная | y = x3 | Кубическая парабола | Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". | |
Степенная | y = x1/2 | График функции y = √x | Самый простой случай для дробной степени (x1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". | |
Степенная | y = k/x | Гипербола | Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x-1) - обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1. | |
Показательная | y = ex | Экспонента | Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e - иррационального числа примерно равного 2,7182818284590... | |
Показательная | y = ax | График показательной функции | Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2x (a = 2 > 1). | |
Показательная | y = ax | График показательной функции | Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1). | |
Логарифмическая | y = lnx | График логарифмической функции | График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой. | |
Логарифмическая | y = logax | График логарифмической функции | Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1). | |
Логарифмическая | y = logax | График логарифмической функции | Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2 < 1). | |
Синус | y = sinx | Синусоида | Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". | |
Косинус | y = cosx | Косинусоида | Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". | |
Тангенс | y = tgx | Тангенсоида | Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". | |
Котангенс | y = сtgx | Котангенсоида | Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". |
Обратные тригонометрические функции. | ||||
Название функции | Формула функции | График функции | Название графика | Комментарий |
Арксинус | y = arcsinx | График арксинуса | Тригонометрическая функция обратная к y = sinx. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от −π/2 до π/2. | |
Арккосинус | y = arccosx | График арккосинуса | Тригонометрическая функция обратная к y = cosx. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от 0 до π. | |
Арктангенс | y = arctgx | График арктангенса | Тригонометрическая функция обратная к y = tgx. Определена на множестве действительных чисел. Принимает значения на интервале (−π/2; π/2). Имеет асимптоты. | |
Арккотангенс. | y = arcctgx | График арксинуса | Тригонометрическая функция обратная к y = ctgx. Определена на множестве действительных чисел. Принимает значения на интервале (0 π). Имеет асимптоты. |
6) Элементарные функции
· Трансцендентные
· Алгебраические
o Иррациональные
o Рациональные
§ Целые рациональные
§ Дробные рациональные
· Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.
· Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.
· Например, функция является алгебраической.
· Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.
· Рациональные функции.
· Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).
· Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов).
· Пример целой рациональной функции: .
· Пример дробно-рациональной функции: .
· ПРИМЕЧАНИЕ:
· Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например, - целая рациональная функция, а не иррациональная.
· Иррациональные функции.
· Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).
· Примером может являться функция .
· К началу страни
· Трансцендентные функции.
· Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).
· К примеру, - трансцендентная функция.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Функция | Преобразование графика функции |
Параллельный перенос вдоль оси OY на A единиц вверх, если А>0, и на |A| единиц вниз, если А<0. | |
Параллельный перенос вдоль оси OX на a единиц вправо, если a > 0, на |a|единиц влево, если a < 0. | |
Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в k раз, если k > 1, и сжатие в 1/k раз, если 0 < k < 1. | |
Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз, если k > 1, и растяжение в 1/k раз, если 0 < k < 1. | |
Симметричное отражение относительно оси OX | |
Часть графика, расположенная ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения. | |
Симметричное отражение относительно оси OY. | |
Часть графика, расположенная в области x ³ 0, остается без изменения, а его часть для области x £ 0 заменяется симметричным отображением относительно оси OY части графика для x ³ 0. |
7) Обычно степенными функциями называют функции вида у = хr, где r-любое действительное число.
Целый ряд таких функций мы с вами уже изучили. Так, если r— натуральное число (r = п), то получаем функцию у = хп; графики и свойства таких функций вам известны из курса алгебры 7—9-го классов. На рис. 180 изображен график функции у =х1 (прямая), на рис. 181 изображен график функции у =хг (парабола), на рис. 182 изображен график функции у =х3 (кубическая парабола). График
степенной функции у = хп в случае четного п (п =4, 6, 8, ...) похож на параболу, а график степенной функции у = х" в случае нечетного п(п= 5, 7, 9,...) похож на кубическую параболу.
Если г = -п, то получаем функцию о таких функциях мы говорили в курсе алгебры 9-го класса. В случае четного п график имеет вид, изображенный на рис. 183; в случае нечетного п график имеет вид, изображенный на рис. 184.
Наконец, если г=0, т.е. речь идет о функции у=х°, то о ней и говорить неинтересно, поскольку это — функция у = 1, где ; график этой функции изображен на рис. 185.
8) Функция, заданная формулойy=ax(гдеa>0,a≠1), называется показательной функцией с основаниемa.
Сформулируем основные свойства показательной функции:
1. Область определения - множество R действительных чисел.
2. Область значений - множество R+ всех положительных действительных чисел.
3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a<1 функция убывает на множестве R.
ax1<ax2, если x1<x2,(a>1),
ax1>ax2, если x1<x2,(0<a<1)
4. При любых действительных значениях x и y справедливы равенства
axay=ax+yaxay=ax−y(ab)x=axbx(ab)x=axbx(ax)y=axy
Графики показательных функций изображены на рисунках:
1) для случая a>1
2) для случая 0<a<1
9)Функцию, заданную формулойy=logax, называют логарифмической функцией с основаниемa.
(a>0,a≠1)
Основные свойства логарифмической функции:
1. Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел.
D(f)=(0;+∞);
2. Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел.
E(f)=(−∞;+∞);
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>1 или убывает
при 0<a<1.
10) Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.
Y = sin(x)
График функции y=sin(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Y = cos(x)
График функции y=cos(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Y = tg(x)
График функции y=tg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
Y = ctg(x)
График функции y=ctg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
11) Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.
Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x. См. разделы Синус, косинус, Тангенс, котангенс.
y = arcsin x
Свойства функции arcsin
· (функция является нечётной).
· при .
· при
· при
·
·
·
y = arccos x
Свойства функции arccos
· (функция центрально-симметрична относительно точки ), является индифферентной.
· при
· при
·
·
·
·
·
y = arctg x
Свойства функции arctg
·
· , при x > 0.
· , при x > 0.
y = arcctg x
Свойства функции arcctg
· (график функции центрально-симметричен относительно точки
· при любых
·
12) Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество :
Конечная или бесконечно удаленная точка числовой прямой называется пределом некоторой числовой последовательности действительных чисел, если какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.
13) Число называется пределом функции на бесконечности или при , если для любого существует число такое, что для всех из того, что , выполняется неравенство .
Число называется пределом функциив точке , если для любой последовательности , которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
14) Бесконечно малая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно малая[править | править вики-текст]
Последовательность {\displaystyle a_{n}} называется бесконечно малой, если {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}. Например, последовательность чисел {\displaystyle a_{n}={\dfrac {1}{n}}} — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки {\displaystyle x_{0}}, если {\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=0}.
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=0} либо {\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=0}.
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=a}, то {\displaystyle f(x)-a=\alpha (x)}, {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }(f(x)-a)=0}.
Подчеркнём, что бесконечно малую величину следует понимать как переменную величину (функцию), которая лишь в процессе своего изменения [при стремлении {\displaystyle x} к {\displaystyle a} (из {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=0})] делается меньше произвольного числа ({\displaystyle \varepsilon }). Поэтому, например, утверждение типа «одна миллионная есть бесконечно малая величина» неверно: о числе [абсолютном значении] не имеет смысла говорить, что оно бесконечно малое.[1]
15) Определения. Пусть при функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда:
2. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка относительно g(x).
2. Если (конечен и отличен от 0), то f(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно g(x).
3. Если , то f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. Эквивалентность записывается так: .
16) Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Последовательность {\displaystyle a_{n}} называется бесконечно большой, если {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\infty }.
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки {\displaystyle x_{0}}, если {\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }.
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=\infty } либо {\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=\infty }.
Как и в случае бесконечно малых, необходимо отметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой величины не может быть названо как «бесконечно большое» — бесконечно большая величина — это функция, которая лишь в процессе своего изменения может стать больше произвольно взятого числа.
Если функция - функция бесконечно малая ( ), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.
17) Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве)Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.
Þ .
Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве)Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).
Þ .
Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.
.
Доказательство. f(x)=с, докажем, что .
Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое
положительное число. Тогда при
.
Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в
одной точке.
Доказательство. Предположим противное. Пусть
и .
По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:
f(x)-A= - б.м. при ,
f(x)-B= - б.м. при .
Вычитая эти равенства, получим:
B-A= - .
Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:
B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.
Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.
.
Доказательство. Пусть , , .
Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:
где - б.м. при .
Сложим алгебраически эти равенства:
f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)= ,
где б.м. при .
По теореме о связи предела и б.м. функции:
А+В-С= .
Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
.
Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,
причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.
, .
Точка разрыва первого рода
Определение
Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.
Точка разрыва второго рода
Определение
Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.
22) Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).
Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
23) Вычисление производной функции у = f(x) производится по следующей схеме:
1) Находим приращение функции на отрезке :
2) Делим приращение функции на приращение аргумента:
3) Находим предел устремляя к нулю. Переход к пределу мы будем записывать с помощью знака lim:
ПРИМЕР 1
Задание | Найти производную от функции заданной неявно. |
Решение | Перенесем выражение стоящее в правой части равенства, в левую часть: Далее дифференцируем левую и правую часть последнего равенства: Используя свойство линейности производной, получим: Первое слагаемое дифференцируем как произведение: при этом считаем, что есть функция от поэтому производную от него находим как производную от сложной функции: Будем иметь: Было учтено, что Итак, для заданной функции имеем: Решаем полученное уравнение относительно функции |
Ответ |
26)
Предположим, что функциональная зависимость от не задана непосредственно , а через промежуточную величину — . Тогда формулы
задают параметрическое представление функции одной переменной.
Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:
где функции и определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:
Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:
Для нахождения второй производной выполним следующие преобразования:
Задание. Найти вторую производную для функции заданной параметрически.
Решение. Вначале находим первую производную по формуле:
Производная функции по переменной равна:
производная по :
Тогда
Вторая производная равна
Ответ.
27)
28) ***
29) Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:
Определение
Дифференциалом-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть
Основные свойства функций.
Область определения функции и область значений функции.
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
Нули функции.
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
Монотонность функции.
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Четность (нечетность) функции.
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен о