Показатели качества процесса регулирования

Устойчивость САУ является необходимым, но не достаточным условием эффективного функционирования системы. Не менее важно, чтобы процесс регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества. Требования к качеству переходного процесса могут быть самыми разнообразными, однако к числу наиболее существенных критериев, с помощью которых оценивается поведение системы в динамике, относятся следующие:

· показатели качества переходного процесса, определяемые по переходной функции системы;

· частотные критерии качества; корневые критерии качества;

· интегральные критерии качества.

Поскольку переходный процесс в системе определяется не только параметрами САУ, но и характером внешнего воздействия, оценку качества регулирования осуществляют по виду реакции системы на типовой входной сигнал. Наиболее часто характер протекания переходного процесса оценивается по переходной функции системы.

Основными показателями качества процесса регулирования, определяемыми по переходной функции системы (рис. 4.1), являются: время регулирования (t_p), перерегулирование(σ), частота(ω)и число колебаний.

Рис. 4.1. К определению показателей качества процесса регулирования по переходной функции системы

Временем регулирования t_p называется временной интервал, отсчитываемый с момента приложения воздействия к системе до момента, начиная с которого отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения не превышает наперед заданной величины .

Обычно принимают равной 5 % от Таким образом, время регулирования определяет длительность переходного процесса, т.е. быстродействие системы. Величина t_p должна быть ограничена не только сверху, но и снизу, поскольку при повышении быстродействия системы время регулирования уменьшается, но при этом возрастают динамические нагрузки, что отрицательно сказывается на сроке службы САУ.

Перерегулированием σ называется максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения , выраженное в процентах.

Абсолютная величина отклонения определяется по графику переходной функции:

.

Соответственно перерегулирование равно:

℅. (4.1)

Допустимое значение перерегулирования определяется спецификой функционирования конкретной системы. Обычно оно составляет 10 – 30 %, но для ряда САУ перерегулирование принципиально недопустимо.

Колебательность переходного процесса определяется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования t_p, например, числом минимумов за этот интервал. Приемлемым считается от одного до трех колебаний. Иногда колебательность определяют, как отношение величин первого ( ) и второго ( ) максимумов переходной функции выраженное в процентах.

Частота колебаний равна:

где T – период колебаний.

В случае необходимости к перечисленным показателям качества процесса регулирования добавляются следующие: время достижения первого максимума , время первого достижения уровня установившегося значения , декремент затухания, равный:

,

и ряд других.

Частотные критерии качества

Оценка динамических свойств САУ по ее переходной функции h(t) представляет собой прямой метод исследования качества регулирования. Существует возможность судить об основных показателях качества переходных процессов в системе и без построения h(t), используя различные косвенные оценки, которые определяются проще, чем переходная функция. Такие косвенные оценки называются критериями качества. При исследовании качества переходных процессов эти критерии являются аналогами критериев устойчивости.

Рассмотрим частотные критерии качества, позволяющие судить о динамических свойствах системы по ее частотным характеристикам. К их числу могут быть отнесены (см. разд. 3.4) запасы устойчивости САУ по усилению и фазе, которые могут быть определены по АФХ или логарифмическим амплитудно- и фазо-частотной характеристикам системы в разомкнутом состоянии.

Для оценки качества переходного процесса минимально-фазовой системы достаточно знать вид ее амплитудно-частотной характеристики . С целью обеспечения сопоставимости значений критериев для различных САУ характеристика нормируется, для чего ее ординаты делятся на начальное значение , т.е. на ее значение при :

.

При этом АЧХ нормированных статических систем начинается с единицы (рис. 4.2).

К частотным показателем качества, определяемым по , относятся:

· полоса пропускания системы ;

· резонансная частота :

· показатель колебательности M.

Полоса пропускания системы - это диапазон частот, в котором превышает единицу. Если АЧХ замкнутой системы во всем частотном диапазоне меньше единицы, то полоса пропускания отсчитывается на уровне 0,707.

Резонансная частота – это частота, при которой достигает максимума.

M

Рис. 4.2. К определению показателей качества по

Показатель колебательности M равен максимальному значению нормированной АЧХ замкнутой системы, т.е.

= .

При < 1 переходная функция системы монотонная (не колебательная). Чем больше M, тем больше колебательность. При M в системе возникают незатухающие колебания с частотой . Качество регулирования САУ считается вполне удовлетворительным, если показатель колебательностисистемы находится в диапазоне 1,1 < М < 1,5 , при этом переходная функция имеет приемлемую колебательность с частотой близкой к .

Длительность переходного процесса определяется шириной характеристики , а, следовательно, величиной полосы пропускания . Чем больше , т.е. чем более растянута частотная характеристика, тем короче переходный процесс и меньше t_p.Это связано с тем, что, чем более высокие частоты «пропускает» система, тем она менее инерционна. Этим же объясняется и то, что длительность переходного процесса тем меньше, чем больше частота среза .

Величина перерегулирования может быть приближенно оценена по виду вещественной частотной характеристики замкнутой системы:

.

Если график имеет максимум («горб»), переходный процесс в системе происходит с перерегулированием, величина которого составляет не менее 18 %. В случае монотонно убывающей характеристики переходная функция также будет монотонной (без перерегулирования).

Колебательность и длительность переходного процесса h(t ) замкнутой системы могут быть в первом приближении определены по параметрам ЛАХ разомкнутой системы: частоте среза и величинам запасов устойчивости по фазе и амплитуде. В случае колебательной переходной функции h(t) резонансная частота ω_р замкнутой системы близка по величине к частоте среза ЛАХ разомкнутой системы. Колебательность считается допустимой, если ЛАХ на частоте среза имеет наклон -20 дБ/дек; чем шире участок с таким наклоном, тем меньше колебательность. Если запас по фазе Δφ > 30⁰ , а запас по амплитуде не менее 6 дБ, то h(t) имеет слабую колебательность.

Корневые критерии качества

Эта группа критериев позволяет оценить качество переходных процессов по расположении полюсов и нулей передаточной функции устойчивой замкнутой системы. При исследовании устойчивости САУ оценивалось только расположение полюсов на комплексной плоскости. Оценивая качество переходного процесса, необходимо учитывать и расположение нулей.

К числу корневых критериев качества относят степень устойчивостиистепень колебательности.

Степень устойчивости (η)– это расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней левого полюса (рис. 4.3, а) или ближайшей пары комплексно сопряженных полюсов замкнутой системы (рис. 4.3, б). В первом случае соответствующая этому полюсу слагаемое в общем решении дифференциального уравнения (3.5) равно:

.

а)

б)

Рис. 4.3. Корневые критерии качества

в)

Во втором случае, когда ближайшей к мнимой оси окажется пара комплексно-сопряженных полюсов, им в выражении (3.5) будет соответствовать слагаемое вида:

.

В обоих случаях указанное слагаемое будет затухать медленнее остальных, тем самым определяя в первом приближении длительность переходного процесса:

_.

Степень колебательности определяется только для замкнутых систем, передаточные функции имеют комплексно-сопряженные полюса:

p_i,i+1 = α_i + jβ_i .

Переходная функция таких систем в большей или меньшей степени колебательна. Степень колебательности переходного процесса равна:

,

где φ – наибольший по величине угол, образованный отрицательной вещественной полуосью и лучом, проведенным из начала координат к комплексному полюсу p_i
(рис. 4.3, а, б). Среди всех комплексно-сопряженных полюсов системы указанному полюсу соответствует максимальное отношение мнимой части к действительной. Чем больше степень колебательности μ, тем слабее будет затухание колебаний в переходном процессе.

Задавшись предельно допустимыми значениями степени устойчивости η_з и степени колебательности φ_з, можно построить на комплексной плоскости область (рис. 4.3, в), в которой должны находиться полюса системы, показатели качества регулирования которой будут удовлетворять заданным значениям, т.е. η > η_з и μ < μ_з.