Размещения без повторений и с повторениями
Цель: Изучить на практике методику расчета числа размещений без повторений и с повторениями
.Содержание:
Задание 8 (начисло размещений без повторений).
Задание 9 (начисло размещений с возможными повторениями).
Задание 10 (начисло размещений с обязательными повторениями).
Задание 8 (начисло размещений без повторений).
Сколько различных m– значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой без возможности повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9? Решить задание для m=3.
ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ.КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Размещениями без повторений или просто размещениями элементов n различных типов по m называются их последовательности из m различных элементов, отличающиеся друг от друга самими элементами или их порядком. При этом m≤n, поскольку не допускается повторение элементов в последовательности из m различных элементов. (Иногда размещения называют расположениями, выборами, упорядоченными рядами или наборами, распределениями или аккомодациями.)
Число всех размещений из элементов n различных типов по т (обозначается ) есть
= =
=n!/(n-m)!
КОНЕЦ ТЕОРИИ.
Решение.
В задании 8m=3, n=5. Тогда по формуле имеем = n!/(n-m)!. Подставляя в формулу m=3 и n=5, имеем
= 5!/(5-3)!= 5!/ 2!=120/2=60.
Ответ: =60, т. е 60 различных вариантов 3– значных телефонных номеров (3-значных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой без возможности повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9.
Задание 9(начисло размещений с возможными повторениями).
Сколько различных m– значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой и с возможностью повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9? Решить задание для m=3.
ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ С ПОВТОРЕНИЯМИ.КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Размещениями с повторениями элементов n различных типов по т называются их последовательности из т элементов, отличающиеся друг от друга самими элементами или их порядком. При этом возможно и т≤ n, и т>n, поскольку допускается повторение элементов в последовательности из т элементов.
Число всех возможных размещений из га различных элементов по т (обозначается )есть
= nm.
КОНЕЦ ТЕОРИИ.
Решение.
В задании 9m=3, n=5. Тогда по формуле имеем = nm. Подставляя в формулу m=3 и n=5, имеем
= 53=125.
Ответ: =125., т. е 125 различных вариантов 3– значных телефонных номеров (3-значных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой с возможностью повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9.
Задание 10(начисло размещений с обязательными повторениями).
Сколько различных m– значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой и с обязательным их повторением в номере из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9? Решить задание для m=3.
ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ С ОБЯЗАТЕЛЬНЫМИ ПОВТОРЕНИЯМИ.КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Пусть A - множество размещений элементов с возможными их повторениями из n по m элементов, B - множество размещений элементов без возможности их повторениями из n по m элементов. Очевидно, число элементов n(A) множества A равно , а числоэлементов n(B) множества B равно
. Так как множество B есть подмножество множества A, то BÌA, поэтому число элементов их пересечения равно n(A∩B)=n(B)=
. Наконец, пусть A\B - множество размещений элементов с обязательными повторениями из n по m элементов. Тогда по следствию из правила суммы число элементов последнего множества A\B равно n(A\B)= =n(A)-n(A∩B)=
-
.
КОНЕЦ ТЕОРИИ.
РЕШЕНИЕ.
В задании 10m=3, n=5. Тогда по формуле имеем n(A\B)= -
=
-
=125-60=65.
Ответ: n(A\B)= 65, т. е 65 различных вариантов 3– значных телефонных номеров (3-значных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой с обязательным повторением из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9.
ЗАНЯТИЕ 5.