Понятие о методе комплексных амплитуд

Поскольку в реактивных элементах цепи (ёмкости и индуктивности) ток и напряжение связаны интегрально-дифференциальные соотношениями (2.4), (2.5) и (2.10), (2.11), то уравнения электрического равновесия такой будут представлять собой интегрально-дифференциальные уравнения, решение которых во временной области переменной является достаточно трудоемкой задачей.

Однако, поскольку производная и интеграл по времени любого порядка от гармонической функции представляют собой также гармоническую функцию, то при гармоническом воздействии все напряжения и токи цепи, в установившемся режиме будут также гармоническими функциями времени той же частоты, что и частота воздействия. Поэтому всем этим гармоническим функциям будет соответствовать комплексные изображения, аналогичные функции , важным свойством которой является то, что она не изменяет своего вида при многократном дифференцировании и интегрировании по времени. Действительно, производная n-го порядка по времени от функции имеют вид , то есть сводится к умножению исходной функции на столько раз, каков порядок производной. Последовательное n-кратное интегрирование по времени функции преобразует её к виду , то есть сводится к делению исходной функции на столько раз, каков порядок интеграла.

Метод комплексных амплитуд заключается в следующем. В интегрально-дифференциальных уравнениях цепи все вещественных гармонические функций напряжений и токов (оригиналы), заменяют изображениям в виде комплексных показательных функций и выполняют операций дифференцирования и интегрирования. В результате все уравнения будут содержать только слагаемые вида и , в состав которых входит сомножитель . После сокращения этого сомножителя уравнения преобразуются из интегрально-дифференциальных в алгебраические.

Решая полученных алгебраические уравнения при условии постоянства частоты , находят комплексные амплитуды токов и напряжений, зная которые определяют вещественные гармонические функции токов и напряжений путем обратного перехода от изображений к оригиналам.

Достоинством метода комплексных амплитуд является существенное упрощение расчёта цепи, а недостатком — возможность расчета цепи только при гармоническом воздействии и только в установившемся режиме

4.5. Комплексные сопротивление и проводимость цепи при гармоническом
воздействии

Пусть к цепи, составленной из пассивных идеальных элементов и имеющей два вывода, приложено гармоническое напряжение

,

где и — амплитуда и начальная фаза напряжения.

Тогда ток такой цепи будет также гармонической функцией времени той же частоты, что и напряжение

.

где и — амплитуда и начальная фаза тока.

В соответствии с методом комплексных амплитуд, заменим вещественные функции напряжения и тока их изображениями в показательной форме записи:

;

,

где , — комплексные амплитуды напряжения и тока.

Рассмотрим отношение изображений напряжения и тока

. (4.11)

Полученная комплексная функция в виде отношения комплексных амплитуд напряжения и тока называется комплексным сопротивлением цепи. Такое название функции обусловлено тем, что уравнение (4.11) по форме записи аналогично закону Ома (2.1).

Подставляя в (4.11) выражения для комплексных амплитуд напряжения и тока в показательной форме, получаем

. (4.12)

где и — модуль и аргумент комплексного сопротивления.

Из (4.12) следует, что в зависимости от значений начальных фаз напряжением и током аргумент комплексного сопротивления может быть как положительным, так и отрицательным числом.

Поделив числитель и знаменатель правой части уравнения (4.12) на , получим аналогичное выражение для комплексного сопротивления в виде отношения комплексных действующих значений напряжения и тока

. (4.13)

где , — действующие значения гармонических функций напряжения и тока

Примечание. При расчёте электрических цепей комплексные действующие значения напряжения и тока обычно называют просто комплексным напряжением и комплексным током, опуская слово «действующее», что и будет использовано в дальнейшем.

С помощью формулы Эйлера, можно преобразовать показательную форму записи комплексного сопротивления (4.13) в алгебраическую

, (4.14)

где и — вещественная (активная) и мнимая (реактивная) составляющие комплексного сопротивлении; — модуль комплексного сопротивления; — аргумент комплексного сопротивления.

Комплексное сопротивление может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора (рис. 4.7, а), проведённого из начала координат в точку с координатами и . Длина такого вектора будет равна модулю z, а угол наклона вектора к положительной вещественной полуоси — аргументу j комплексного сопротивления.

Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью цепи

.

С учётом (4.11) и (4.13) комплексная проводимость может быть определена в виде

. (4.15)

а) б)

Рис. 4.7

Запишем комплексную проводимость в алгебраической и показательной форме

, (4.16)

где и — вещественная (активная) и мнимая (реактивная) составляющие комплексной проводимости соответственно; — модуль комплексной проводимости; — аргумент комплексной проводимости.

Используя понятие комплексного сопротивления цепи можно рассматриваемую цепь изобразить в виде только одного этого сопротивления (рис. 4.7, б). Полученная за счёт такой замены схема называется комплексной схемой замещения цепи. Аналогичную комплексную схему замещения можно получить, используя комплексной проводимости цепи. В обоих случаях токи и напряжения участка цепи будут представлены их комплексными амплитудами или комплексными действующими значениями.

Рассмотрим комплексные сопротивления и проводимости идеализированных элементов электрической цепи.