Скорости точек плоской фигуры

Применяя к плоскому движению теорему о сложении скоростей для какой-либо точки фигуры, получаем

, (85)

где – абсолютная скорость точки плоской фигуры относительно системы координат, по отношению к которой рассматривается движение фигуры; – скорость точки от переносного поступательного движения фигуры вместе, например, с точкой этой фигуры (рис. 36, а); – скорость точки в относительном движении, которым является вращение плоской фигуры вокруг точки с угловой скоростью .

а) б)

Рис. 36

Так как за переносное движение выбрано поступательное движение вместе с точкой , то все точки плоской фигуры имеют одинаковые переносные скорости, совпадающие с абсолютной скоростью точки , т. е.

.

Скорость относительного движения, в случае, когда оно является вращательным движением, равна

.

Скорость , расположена в плоскости движущейся фигуры и направлена перпендикулярно отрезку , соединяющему точку с полюсом . Эту относительную скорость можно выразить в виде векторного произведения:

,

где угловая скорость считается направленной по подвижной оси вращения, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости фигуры. Относительную скорость обозначим . Это обозначение показывает, что скорость относительного движения точки получается от вращения плоской фигуры вокруг подвижной оси, проходящей через точку , или просто вокруг точки . Формулу (85) можно выразить в виде

, (86)

где

, (87)

а вектор перпендикулярен отрезку и направлен в сторону вращения плоской фигуры (рис. 38, а). Используя (86), можно построить в выбранном масштабе треугольник скоростей для точки (рис. 36, б).

Мгновенный центр скоростей

В каждый момент времени при плоском движении фигуры в ее плоскости, если , имеется единственная точка этой фигуры, скорость которой равна нулю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). Обозначим ее (рис. 37).

Мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре к скорости , проведенном из точки , на расстоянии .

Мгновенный центр скоростей является единственной точкой плоской фигуры для данного момента времени. В другой момент времени мгновенным центром является уже другая точка плоской фигуры.

Если мгновенный центр известен, то, приняв его за полюс и учитывая, что скорость его в этом случае равна нулю, согласно (86) и (87), для точки фигуры имеем

, , (88)

где – расстояние от точки до мгновенного центра скоростей.

По направлению скорость в этом случае перпендикулярна отрезку . Для точки , аналогично,

, (89)

причем скорость перпендикулярна отрезку . Получаем:

, (90)

, (91)

Следовательно, если мгновенный центр скоростей известен, то скорости точек плоской фигуры при ее движении в своей плоскости вычисляют так же, как и в случае вращения фигуры в рассматриваемый момент вокруг своего мгновенного центра скоростей с угловой скоростью .

Для нахождения скоростей точек тела при его плоском движении обычно предварительно находят мгновенный центр скоростей. Но можно применить формулу, выражающую зависимость между скоростями двух точек тела.