Свойства системы аксиом Колмогорова.

1.Система аксиом Колмогорова непротиворечива, так как существуют реальные объекты, которые удовлетворяют одновременно всем аксиомам Колмогорова.

2. Система аксиом Колмогорова неполна. Это значит, что даже при одном множестве элементарных событий U вероятности на множестве F могут быть выбраны многими различными способами.

Неполнота системы аксиом Колмогорова не является недостатком, а, наоборот, обеспечивает ее возможность её широкого практического применения, так как позволяет в разных задачах рассматривать одинаковые множества случайных событий с различными вероятностями. Это можно проиллюстрировать известным парадоксом Бертрана. Пусть для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность. Бертран утверждает, что эта вероятность определяется неоднозначно, т. e. различные методы приводят к разным результатам.

21.Классическое определение вероятности случайного события

Под вероятностью случайного события в математике понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).

Рассмотрим некоторую конечную полную группу равновоз-можных элементарных событий (исходов) В,, В₂, ..., В_п, т. е. со­вокупность всех единственно возможных, несовместных и вместе с тем равновозможных результатов некоторого испытания, при­чем пусть интересующее нас случайное событие Аосуществляет­ся тогда и только тогда, когда наступают некоторые из элемен­тарных событий указанной полной группы. Пусть таких событий, благоприятствующих для события А, насчитывается т (естественно, т<п). Тогда вероятность события А определяют следующим образом:

Определение. Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение количества т элементарных событий, благо-приятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п:

P^*(A)=m/n

Поскольку в общем случае 0 < т < п, то из этого определения, называемого классическим определением вероятности случайного события, следует, что вероятность произвольного случайного события принадлежит отрезку [0,1], т.е.

0≤ Р(А)≤1

Классическое определение вероятности.Если при испыта­ниях нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайноесобытие появлялось бы чаще других (равновозможные собы­тия), можно определить вероятность исходя из теоретических со­ображений. Например, выясним в случае бросания монеты часто­ту выпадания герба (событиеА). Разными экспериментаторамипри нескольких тысячах испытаний было показано, что относи­тельная частота такого события принимает значения, близкие к0,5. Учитывая, что появление герба и противоположной стороны монеты (событие В) являются событиями равновозможными, ес­ли монета симметрична, суждение Р(А) = Р(В) = 0,5 можно было бы сделать и без определения частоты этих событий. На основе по­нятия «равновозможности» событий формулируется другое опре­деление вероятности.

Допустим, что в результате испытания должно произойти только одно изп равновозможных несовместных событий(несов­местными называют события, если их одновременное осуществ­ление невозможно). Пусть рассматриваемое событие А происхо­дит вт случаях, которые называются благоприятствующими А, ине происходит при остальных п - т, неблагоприятствующих А. Тогдавероятностью можно назвать отношение благоприят­ствующих случаев к общему числу равновозможных несов­местных событий:

Р(А) = m/n

22. Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где – вероятность появления события А;

– относительная частота появления события А;

- число испытаний, в которых появилось событие А;

- общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример: Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

.

Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

· Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

· События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

· Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Доказательство

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (A_n).

23. Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
,
где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

24.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого события.

Пример 10.Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие - попадание 1-го стрелка в мишень и событие - попадание 2-го стрелка в мишень. Эти события совместные, так как возможна ситуация, когда оба стрелка попадут в мишень.

Два события называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них е исключает появление другого события.