Тема 6. Дискретная математика. 6.1 Элементы теории множеств.
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть II
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП
Направления подготовки:
190100 “Наземные транспортные технологические комплексы”
280100 “Природообустройство и водопользование”
280700 “Техносферная безопасность” Квалификация (степень) – бакалавр
МОСКВА 2012
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть II
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП
Направления подготовки:
190100 “Наземные транспортные технологические комплексы”
280100 “Природообустройство и водопользование”
280700 “Техносферная безопасность” Квалификация (степень) – бакалавр
Рекомендовано Методической комиссией
заочного факультета
МОСКВА 2012
ББК 22.11
УДК 517.521
Составители: Веселова Г.В., Карнаухов В.М., Полежаев А.А.
Высшая математика. Часть II Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников МГУП. Направления подготовки: 190100 “Наземные транспортные технологические комплексы”, 280100 “Природообустройство и водопользование”, 280700 “Техносферная безопасность”. Квалификация (степень) – бакалавр / Московский государственный университет природообустройства. Составители: Веселова Г.В., Карнаухов В.М., Полежаев А.А. М., 2012, с. 39.
Методические указания предназначены для студентов-заочников МГУП с целью повышения эффективности самостоятельной работы и выполнения ими контрольных заданий по курсу “Высшая математика”.
Рецензенты:
|
![]() |
СОДЕРЖАНИЕ
Введение......................................................................................................................…..3
Тема 6. Дискретная математика………………………………………………………...4 6.1 Элементы теории множеств………………………………………………...4
6.2 Элементы комбинаторики………………………………………………….7
6.3 Элементы алгебры логики высказываний…………………………………9
6.4 Элементы теории графов…………………………………………………..12 Тема 7. Теория вероятностей и математическая статистика…………………………19 7.1 Случайные события………………………………………………………...19
7.2 Случайные величины……………………………………………………….25
7.3 Элементы математической статистики……………………………………32
ВВЕДЕНИЕ
Уважаемые студенты - заочники! В этой книжке Вы найдете контрольные задания и методические указания для их выполнения и для подготовки к экзамену по высшей математике.
Для изучения материала Вам рекомендуется следующая литература:
[1]Ю.И.Галушкина, А.Н.Марьямов. Конспект лекций по дискретной математике, М.:Айрис- пресс,2007-176с.
[2] В.А.Осипова. Основы дискретной математики, М.: Форум: ИНФРА-М, 2006- 160с.
[3]. В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский, Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Высшая школа, 1991.
[4]. В.Е. Гмурман, Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Высшая школа, 2008.
На втором курсе студенты должны выполнить контрольную работу №3, которая включает в себя задачи 601-610, 611-620, 621-630, 631-640, 701-710, 711-720, 721-730, 731-740
Номера задач, которые следует решать, определяются следующим образом: последняя цифра номера задачи должна совпадать с последней цифрой номера зачетной книжки.
Перед выполнением контрольной работы рекомендуется ознакомиться с
4
Задачи 601- 610
N ⊂ Z
⊂ Q ⊂ R
601)Задать множества перечислением их элементов:
1) A = {x ∈ N : −3 ≤ x < 5}
2) B = {x ∈ N : x2 < 1}
3) C = {x ∈ Z : x2 < 7}
4) D = {x ∈ Z :| x |≤ 1}
5) E = {x ∈ Q : x2= 8}
6) F
= {x ∈ R : x2 − 2x −1 = 0}
602)Составить множество D всех подмножеств множества С:
1) C = {2};
2) C = {a; b};
3) C = {2; 4; 6}
603)Дано множество X = {1; 2; 3; 4}.Определить, какое из следующих утверждений является верным:
1) {1;2} ⊂ X ;
2) {1;2}∈ X ;
3) {2}∈ X ;
4) {1;2;3;4} ⊂ X ;
5) {1;2;3;4}∈ X .
604)Даны множества Найти:
C = {a;b; c; d} и
D = {b; c; d; e; f }
1) C ∩ D;
2) C ∪ D;
3) D \ C;
4) C \ D;
605)Даны множества Найти:
A = {x ∈ R :1 < x ≤ 5} и
B = {x ∈ R : −2 < x < 3}.
1) A ∪ B;
2) A ∩ B;
3) A \ B;
4) B \ A.
606)Даны множества А = {x Є R: -4 ≤ x < 3} и В = {x Є R: 2 ≤ x < 5}.
Найти:
1) A ∪ B;
2) A ∩ B;
3) A \ B;
4) B \ A.
607)Заданы множества А, В, С как три пересекающихся круга, имеющие одну общую часть. На рисунке указать:
1) ( A ∪ B) ∩ C;
2) ( A ∩ B) \ C;
3) ( A \ B) \ C;
4) (B ∩ A) ∪ C.
608)Заданы множества А, В,С как три пересекающихся круга, имеющие одну общую часть. На рисунке показать, что( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
609)Даны два множества: произведения этих множеств:
С = { p; m; n} и
D = {a;b}. Найти декартовы
1) D × C;
2) C × D.
610)Даны два множества: квадраты этих множеств:
С = { p; m; n} и
D = {a;b}.
Найти декартовы
1) C 2 ;
2) D2 .
Элементы комбинаторики.
Литература [1], часть 3; [2], глава 3, §3.1
Группы, составленные из предметов какой-либо природы, называются соединениями. Предметы, из которых составлены соединения, называются элементами. Рассмотрим основные типы соединений.
Перестановками из k элементов называются такие соединения, каждое из которых содержит все k элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком их расположения. Общее число перестановок из k элементов обозначается Pk и вычисляется по формуле: Pk=k!
Сочетаниями из k элементов по m в каждом называются такие соединения, каждое
|
элементов по m в каждом обозначается
m и вычисляется по формуле:
|
|
|
k m!(k − m)!
Размещениями из k элементов по m в каждом называются такие соединения, каждое их которых содержит m элементов, взятых из числа данных k элементов, и которые отличаются друг от друга или хотя бы одним элементом, или порядком их расположения. Общее число размещений из k элементов по m в каждом обозначается
|
m k!
|
|
![]() |
Бином Ньютона - это формула, представляющая выражение (a+b)n в виде многочлена. Эта формула имеет вид:
n n ∑ n
(a + b)n
= an+ C1an−1b + C 2an− 2b2+ ... + bn=
i =0
Ci an −ibi
Задачи 611 – 620.
611)Вычислить:
1) P5 ;
|
|
|
|
4) (P
;
;
⋅ C 3 ) /( A7
⋅ P ) .
12 6 11 5
612) Сколько трехзначных чисел можно образовать из цифр 4, 5, 7, 8, 9 при условии, что трехзначные числа не содержат одинаковых цифр?
613)Сколько различных слов можно образовать из букв А, Б, В, Г, Д, если под словом понимать любую комбинацию, состоящую из пяти неповторяющихся букв?
614)В цехе работают 15 рабочих. Из них случайным образом формируют звено, состоящее из 4 рабочих. Сколько различных звеньев можно сформировать из работающих в цехе рабочих?
615)В цехе работают 9 мужчин и 6 женщин. Из них случайным образом формируют группу, состоящую из трех человек. Сколько различных групп можно сформировать из работающих в цехе, если каждая группа должна состоять из 2-х мужчин и одной женщины ?
616)Из коробки, содержащей 12 ламп, наудачу выбирают 4 лампы. Сколько различных наборов ламп можно образовать из имеющихся ламп?
617)В коробке 12 ламп, среди которых четыре негодных. Из этой коробки наудачу выбирают 4 лампы. Сколько различных наборов ламп можно образовать из имеющихся ламп, если в наборе должны быть только три годные лампы?
618)Сколько шестизначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 6, 7, 8, 9 при условии, что шестизначные числа состоят из различных цифр?
619)Представить данные выражения в виде многочленов по формуле бинома Ньютона:
1) (x + y)6;
2) (2x − y)5;
3) (3x + y2 )4 .
620)Представить данные выражения в виде многочленов по формуле бинома Ньютона:
1) (x − 2)7 ;
2) (2 + 3y)6;
3) (2x3−1)5.
Задачи 621 – 630
621)Даны два высказывания: Р - “Анна – студентка университета”, Q - “Анна играет в футбол”. На языке логики высказываний записать следующие утверждения:
1) “Анна не играет в футбол”;
2) “Анна – не студентка университета или Анна играет в футбол”;
3) “Анна – студентка университета и Анна не играет в футбол”;
4) “если Анна – студентка университета, то Анна не играет в футбол”.
622)Составить таблицу истинности для высказываний:
1) R1 = (P) ∨ Q;
2) R4= (P1⇒ P2) & Q.
623)Даны два высказывания: P – “Иван поет в хоре”, Q - “Иван любит химию”. На языке логики высказываний записать следующие утверждения:
1) “Иван не поет в хоре”;
2) “Иван не поет в хоре и Иван любит химию”;
3) “Иван не поет в хоре или Иван не любит химию”;
4) “если Иван любит химию, то Иван поет в хоре”.
624)Составить таблицу истинности для высказываний:
1) R1 = P ∨ (Q) ;
2) R2 = P & ((Q1 ) ⇔ Q2 );
625)Доказать эквивалентность высказываний:
R1 = X ⇒ Y и
R2 = (X ) ∨ Y .
626)Доказать истинность формулы
R = (X ) ⇒ ( X
⇒ Y )
627)Даны высказывания: X = “Джо умен”, Y = “Джим глуп”, Z = “Джо получит приз”. Для высказывания “Если Джо умен, а Джим глуп, то Джо получит приз” найти символическую форму и построить таблицу истинности.
628)Составить таблицу истинности для высказываний:
1) R1 = (P)&Q;
2) R2= (P1⇒ (P2)) ∨ Q.
629)Даны высказывания: X = ”Я сдам этот экзамен”, Y = “Я буду регулярно выполнять домашние задания”. Для высказывания “Я сдам этот экзамен
только в том случае, если буду регулярно выполнять домашние задания” найти символическую форму и построить таблицу истинности.
630)Доказать эквивалентность следующих высказываний:
![]() |
R1 = X ⇒ Y и R2 = X & Y
Элементы теории графов.
Литература [1], часть 5, §§ 1-5, 9,10; [2], глава 4, §§ 4.1,4.2
Графом называется непустое множество точек и множество отрезков, оба конца которых принадлежат этому множеству точек. Точки – это вершины графа, а отрезки, соединяющие вершины, - ребра графа. Обычно граф обозначается буквой Г, его вершины – заглавными буквами латинского алфавита, а ребра парой букв, которыми обозначены принадлежащие этим ребрам вершины. В некоторых случаях вершины и ребра не обозначаются.
Замечания:
1) В этом параграфе будут рассмотрены графы, в котором любые две вершины либо не соединены ребром, либо соединены однимребром. Такие графы называются простыми. Помимо простых графов существуют мультиграфы, в которых две вершины могут быть соединены несколькими ребрами (кратными ребрами), а также вершина может быть соединена сама с собой ребром, называемым петлей.
2) При изображении графов вершины обозначаются жирными точками, чтобы отличить их от точек пересечения ребер графа.
3) Существуют вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру графа. Такие вершины называются изолированными.
4) При изображении графа ребра могут быть прямолинейными или криволинейными отрезками произвольной длины. На рисунке изображен один и тот же граф, имеющий 4 вершины и 4 ребра.
Полным называется граф, у которого каждые две различные вершины соединены одним и только одним ребром. Каждая вершина полного графа принадлежит одному и
тому же числу ребер. Число ребер полного графа, который имеет n вершин,
вычисляется по формуле
2 n(n −1)
|
|
. Если граф не является полным, то его
можно преобразовать в полный граф, добавив недостающие ребра. Граф Г , с теми же вершинами, что и граф Г, и с теми и только теми ребрами, которые необходимо добавить к графу Г, чтобы из него получился полный граф, называется дополнением
графа Г.
Число ребер графа, которым принадлежит данная вершина, называется степенью этой вершины. Вершина называется четной, если ее степень четна, и нечетной, если ее степень нечетна. Степень любой вершины полного графа всегда на единицу меньше числа его вершин.
Теорема 1.Во всяком графе сумма степеней всех его вершин равна удвоенному числу ребер графа.
Теорема 2.Число нечетных вершин любого графа четно.
Теорема 3.Во всяком графе, число вершин которого не менее двух, всегда найдутся по меньшей мере две вершины с одинаковыми степенями.
Теорема 4.Если в графе с n вершинами (n > 2) только две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется или только одна вершина степени 0, или только одна вершина степени n – 1.
Путем в графе от вершины А1 (начало пути) до вершины Аm (конец пути) называется последовательность ребер графа, соединяющая вершину А1 с вершиной Аm, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и ни одно из ребер не встречаются более одного раза. Циклом в графе называется путь, в котором совпадают начало и конец пути. Путь (цикл) в графе называется простым, если он не проходит ни через одну вершину графа более одного раза. Длиной пути (цикла) называется число ребер этого пути (цикла).
Две вершины А и В данного графа называются связными (несвязными), если в графе существует (не существует) путь, начало и конец которого совпадают с этими вершинами. Граф называется связным (несвязным), если каждые (не каждые) две его вершины связные.
Путь, содержащий все ребра данного графа, называется эйлеровым путем этого графа. Цикл, содержащий все ребра данного графа, называется эйлеровым циклом этого графа. Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом.
Теорема 5.Любой граф является эйлеровым графом, тогда и только тогда, когда он есть связный граф и имеет только четные вершины.
Гамильтоновым путем (циклом) называется путь (цикл), который проходит через каждую вершину графа только по одному разу. Гамильтонов путь (цикл) всегда является простым. Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым графом.
Критерий существования гамильтонова графа еще не найден. Известно лишь несколько достаточных условий существования гамильтоновых циклов, среди которых следует выделить два. Во-первых, всякий полный граф является гамильтоновым. Во- вторых, если граф, кроме простого цикла, проходящего через все его вершины, содержит и другие ребра, то он также является гамильтоновым.
Ориентированным называется ребро графа, когда оно соединяет две вершины, одна из которых считается началом ребра, а другая – концом. На рисунке ориентированное ребро обозначается стрелкой, а в тексте ориентированное ребро с началом в вершине А и с концом в вершине В обозначается <АВ>.
Ориентированным графом называется граф, который имеет только ориентированные ребра. Одна и та же вершина ориентированного графа может служить началом для одних ребер и концом для других. Число выходящих из вершины А ориентированного графа ребер называется степенью выхода вершины А (обозначается степ.вых.А). Число входящих в вершину А ориентированного графа ребер называется степенью входа вершины А (обозначается степ.вх.А).
Теорема 6.В ориентированном графе с n вершинами А1, А2, …,Аn и p ребрами выполняются равенства:
1) степ.вх.А1 + степ.вх.А2 + …. + степ.вх.Аn =p;
2) степ.вых.А1 + степ.вых.А2 + …. + степ.выхАn=p.
Вершина ориентированного графа, у которой степень входа и степень выхода равны нулю, называется изолированной. Вершина ориентированного графа, у которой степень входа равна нулю, а степень выхода положительна, называется источником. Вершина ориентированного графа, у которой степень входа положительна, а степень выхода равна нулю, называется стоком.
Путем в ориентированном графе называется последовательность ориентированных ребер, такая, что конец любого предыдущего ребра совпадает с началом следующего и ни одно ребро не встречается более одного раза. Путь в ориентированном графе называется простым, если он не проходит ни через одну вершину более одного раза. Ориентированным циклом называется замкнутый путь. Число ребер в пути (цикле) называется длиной пути (цикла), а длина наикратчайшего пути от вершины А до вершины В называется расстоянием от вершины А до вершины В. Расстояние от вершины А до вершины В обозначается S(AB).
Ориентированный граф, у которого любые две различные вершины соединены одним и только одним ребром, называется полным ориентированным графом.
Любой граф, вершины которого пронумерованы от 1 до n, называется помеченным. Любой помеченный граф может быть изображен матрицей смежности, элемент aij которой равен в случае неориентированного графа числу ребер, соединяющих вершины с номерами i и j, а в случае ориентированного графа числу ребер, выходящих из вершины с номером i и входящих в вершину с номером j. Например, изображенным ниже неориентированному и ориентированному графам будут соответствовать следующие матрицы смежности.
1 0 0 0
|
|
|
|
|
|
1 0 0
|
Задачи 631 – 640:
631)Пусть помеченный граф Гn содержит n вершин, причем вершины с номерами
i и j соединены ребром в том случае, если номера i и j - взаимно простые числа. Изобразить графы Г4 и Г5 и найти их матрицы смежности.
632)Граф Г имеет пять вершин; В – одна из его вершин, Г - дополнение графа Г.
Какова степень вершины В в графе Г , если в графе Г эта вершина: 1) принадлежит одному ребру;
2) принадлежит трем ребрам.
В каждом случае нарисовать примеры графов Г и Г , а также найти их матрицы смежности для одного из вариантов нумерации вершин.
633)Существует ли граф с пятью вершинами, сумма степеней которых равна
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 10;
5) 30 ?
Нарисовать пример такого графа, если он существует, и найти его матрицу смежности для одного из вариантов нумерации вершин.
634)Существует ли граф с шестью вершинами, у которого число нечетных вершин равно:
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 6 ?
Нарисовать пример такого графа, если он существует, и найти его матрицу смежности для одного из вариантов нумерации вершин.
635)Существует ли граф с пятью вершинами, степени которых равны:
1) 1, 2, 2, 2, 3;
2) 0, 2, 2, 3, 4;
3) 1, 2, 2, 3, 4;
4) 1, 2, 2, 3, 3 ?
Нарисовать пример такого графа, если он существует, и найти его матрицу смежности для одного из вариантов нумерации вершин
636)Существует ли граф с шестью вершинами, степени которых равны:
1) 1, 2, 2, 2, 3, 5;
2) 0, 1, 2, 2, 3, 4;
3) 1, 1, 2, 2, 3, 3 ?
Нарисовать пример такого графа, если он существует, и найти его матрицу смежности для одного из вариантов нумерации вершин
637). Можно ли назвать граф, изображенный на рисунке,
![]() |
1) эйлеровым графом;
2) гамильтоновым графом?
Найти матрицу смежности для одного из вариантов нумерации вершин.
638)Для ориентированного графа, изображенного на рисунке:
1) определить степень входа и степень выхода каждой вершины;
2) найти источник и сток;
3) найти все пути из вершины C в вершину D;
4) определить расстояние от вершины С до вершины D;
5) указать вершину, которая не достижима ни из одной вершины;
6) найти матрицу смежности для нумерации вершин в порядке следования букв в алфавите.
639)Нарисовать ориентированный граф с шестью вершинами, который имеет:
1) ровно два стока и четыре источника;
2) ровно два источника и четыре стока; Какое наименьшее число ребер имеет такой граф?
Для нарисованных графов найти матрицы смежности, используя один из вариантов нумерации вершин.
640)Дан полный ориентированный граф с пятью вершинами. Сумма степеней входа первых четырех вершин равна 9, а их сумма степеней выхода равна 7. Найти степень входа и степень выхода пятой вершины этого графа. Нарисовать граф, удовлетворяющий условиям задачи, и найти матрицу смежности для одного из вариантов нумерации вершин.
Случайные события
Литература. [3], гл. I; [4], гл 1 – 4.
Рассмотрим решения некоторых задач на определение вероятностей событий, в которых используются теоремы сложения вероятностей, умножения вероятностей, формула полной вероятности.
Пример 1. В урне находится 7 белых и 5 красных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что:
а) оба вынутых шара будут белыми;
б) оба вынутых шара будут одного цвета.
Решение:
В данной задаче опыт или испытание состоит в том, что из урны последовательно вынимают два шара (с возвращением). Рассмотрим следующие события:
A – первый вынутый шар белого цвета;
![]() |
A – противоположное событию А событие, состоящее в том, что первый вынутый шар окажется красным;
B – второй вынутый шар белого цвета;
![]() |
B - второй вынутый шар красного цвета;
C – оба вынутых шара белого цвета;
D – оба вынутых шара одного цвета;
В пункте а) надо найти вероятность
P (C)
события C . Событие C равно
произведению событий A и B , т. е. событие C состоит в том, что в результате опыта произойдут вместе событие A и событие B : C = A ⋅ B
События A и B - независимые, т.е. вероятность каждого из них не зависит от того,
что появится другое событие или нет. По теореме умножения вероятностей
P (C) = P ( A) ⋅ P (B) =
7 ⋅ 7 = 49
12 12 144
В пункте б) надо найти вероятность
P ( D)
события D , которое состоит в том, что
либо первый и второй шары будут оба белыми A ⋅ B , либо первый и второй шары
будут оба красными A ⋅ B . Таким образом, событие D равно сумме событий A ⋅ B и
![]() | ![]() |
A ⋅ B :
![]() | ![]() |
D = A ⋅ B + A ⋅ B
События A ⋅ B
и A ⋅ B
несовместные, поэтому по теореме сложения вероятностей
вероятность события D будет равна
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
P ( D) = P (A⋅ B + A ⋅ B)= P ( A ⋅ B) + P (A⋅ B)
Воспользуемся теоремой умножения вероятностей независимых событий, тогда
![]() | ![]() |
P ( D) = P ( A) ⋅ P ( B) + P (A)⋅P (B)=
= 7 ⋅ 7 +
5 ⋅ 5
= 37
12 12 12 12 72
Отметим, что вероятности событий классической вероятности:
P ( A)= m ,
n
![]() | ![]() |
A, B, A, B были найдены по формуле
где n - число всех равновероятных исходов эксперимента; m - число благоприятных событию A исходов.
Ответ: а)
144
; б) .
Пример 2. В урне находится 3 белых и 7 черных шаров. Из урны случайным образом вынимаются два шара. Найти вероятность того, что эти шары разных цветов.
Решение: Опыт состоит в том, что вынимаются два шара. Рассмотрим следующие события:
A - первый вынутый шар белый;
![]() |
A - первый шар – черный;
B - второй шар – белый;
![]() |
B - второй шар – черный;
C - вынутые шары разных цветов.
Событие C можно представить следующим образом:
![]() | ![]() |
C = A ⋅ B + A ⋅ B
События A ⋅ B
и A ⋅ B
- несовместные, поэтому
P (C) = P (A⋅ B)+ P (A⋅ B)
![]() |
События A и B зависимые, поэтому вероятность
![]() |
P (A ⋅ B)
по теореме умножения
вероятностей равна вероятности
P ( A)
первого события A , умноженной на условную
вероятность произошло:
P (B | A)
второго события B при условии, что первое событие A
P (A ⋅ B)= P ( A)⋅ P (B | A)= 3
⋅ 7 .
Аналогично
10 9
P (A ⋅ B)= P (A)⋅ P (B | A)= 7
⋅ 3 .
Поэтому
P (C ) =
3 ⋅ 7 + 7 ⋅ 3 = 7 .
10 9
Ответ:
10 9 10 9 15
.
Пример 3. Вероятность установления в данной местности устойчивого снежного покрова с октября равна 0,1. Определить вероятность того, что в ближайшие три года в этой местности устойчивый снежный покров с октября установится по крайней мере один раз.
Решение. Рассмотрим следующие события:
A1 - в первый ближайший год устойчивый снежный покров установится с октября;
A2 - во второй ближайший год – установится с октября;
A3 - в третий ближайший год – установится с октября;
A - в ближайшие три года устойчивый снежный
покров установится с октября по крайней мере один раз;
![]() |
A - в ближайшие три года с октября не будет ни разу устойчивого снежного покрова.
Найдем вероятность
P ( A):
![]() | ![]() | ![]() |
P( A) =1−P(A)=1−P(A1⋅A2⋅A3)=
=1− P(A1)⋅ P(A2)⋅ P(A3)=
=1−(1−0,1)(1−0,1)(1−0,1) =1−(0,9)3=0,271
Ответ: 0, 271.
Пример 4. Для посева заготовлены семена пшеницы первого сорта, содержащие 1% примесей второго сорта и 3% примесей третьего сорта. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не мене 50 зерен, равна для первого сорта – 0,5, для второго сорта – 0,2, для третьего сорта – 0,05. Найти вероятность того, что из взятого наудачу зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен.
Решение:
Рассмотрим события:
A - событие, состоящее в том, что из наудачу взятого зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен;
H1 - событие, состоящее в том, что наудачу взятое зерно окажется первого сорта;
H2 - событие, состоящее в том, что наудачу взятое зерно окажется второго сорта;
H3 - событие, состоящее в том, что наудачу взятое зерно окажется третьего сорта. По условию задачи имеем:
P(H1 ) = 0,96;
P( A H1) = 0,5;
P(H 2 ) = 0,01;
P( A H 2 ) = 0,2;
P(H3 ) = 0,03
P( A H3 ) = 0,05
Применяя формулу полной вероятности, получаем:
P( A) =P(H1) ⋅P( A | H1) +P(H2) ⋅P( A | H2) +P(H3) ⋅P( A | H3),
P ( A) = 0,96 ⋅ 0,5 + 0,01⋅ 0, 2 + 0,03 ⋅ 0,05 = 0, 4835
Ответ: 0, 4835 .
Задачи 701 – 710
701)Три стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания равны: для первого стрелка -- 0,6 , для второго -- 0,7 , для третьего -- 0,8. Найти вероятность одного попадания в цель.
702)Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85 , из второго - 0,91. Найти вероятность поражения цели.
703)Вероятность попадания в мишень для первого стрелка - 0,8 , а для второго - 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет только один из стрелков?
704)Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течении часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7 ; для второго станка эта вероятность равна 0,8 ; для третьего -- 0,9 ; для четвертого -- 0,85. Найти вероятность того, что в течении часа по крайней мере один станок потребует к себе внимания рабочего.
705)Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равны 0,9 ; на третий -- 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса.<