Методы исследования систем регулирования

СОДЕРЖАНИЕ.

Методы исследования систем регулирования

Пространство состояний. Уравнения состояния

Динамические и статические системы. Понятие состояния динамических систем.

Уравнение состояния линейных систем

Линеаризация уравнений состояния

Краткая характеристика пакета MatLab

Пакет Control System Toolbox

ЭССЕ. Кратко описаны возможности применения пакета MatLab для исследования и изучения процессов в различных областях науки и техники, а в пакете Control System Toolbox приведены основные команды, позволяющие создавать модели линейных систем регулирования. Цель лекции – уметь в пакете Control System Toolbox создавать модели систем регулирования, записанные через передаточные функции, нули и полюса, матрицы уравнений состояния. Уметь от одного представления математической модели переходить к другим представлениям.

7.1. .Методы исследования систем регулирования

В современной научной и технической литературе по теории управления освещено два подхода к проблеме анализа и синтеза систем регулирования:

первый подход (традиционный или классический) основан на использовании передаточных функций, частотных характеристик либо корневого годографа;

второй подход основан на описании динамики объектов системами дифференциальных или разностных уравнений первого порядка с помощью матричных уравнений и схем переменных состояний, который получил название "метод пространства состояний". Традиционные методы получили большое распространение и с их помощью, в настоящее время, проектируется большинство систем регулирования. Отличительной особенностью этих методов является так называемая робастность (или грубость), что означает не чувствительность (относительно малое влияние) изменения характеристик замкнутых систем к погрешностям, возникающим при переходе физической системы к ее математическому представлению (математической модели). Это полезное свойство робастности (грубых) систем достигается применением обратных связей, которые в какой-то степени линеаризуют нелинейные системы и уменьшают чувствительность систем к вариации параметров. Теория обратных связей в этом методе имеет существенное значение, так как она не только линеаризует систему, не только уменьшает чувствительность, но и компенсирует недостаток сведений об объекте и внешних (возмущающих воздействиях) условиях его работы.

В последние годы разрабатываются новые методы синтеза, которые принято называть методами современной теории регулирования, чтобы не путать их с классическими методами. Эти методы в большей степени зависимы от точности задания модели, что сдерживает их распространение. Вторым сдерживающим фактором является относительно низкая осведомленность возможностей современной теории управления для инженеров, проектирующих промышленные системы регулирования. При проектировании сложных систем (управление летательными аппаратами, космическая техника) современная теория управления давно успешно конкурирует с традиционные методы проектирования, так как обладает большими возможностями:

1. Модель объекта, заданная в переменных состояния, более корректна при вычислительных преобразованиях. Значимость этого преимущества возрастает при исследовании сложных систем.

2. Модель объекта, заданная в переменных состояния, дает больше информации об объекте (его внутренних переменных). Следовательно, процедура проектирования может быть более эффективной. В традиционных методах синтезируется регулятор по сигналу ошибки. В этих системах в цепях обратной связи стоит звено, которое, как правило, фильтрует выходной сигнал объекта и согласовывает его уровень с уровнем входного сигнала регулятора, то есть уровень обратной связи определяется, как правило, одной координатой объекта, величиной помех и конструктивными соображениями. В методах пространства состояния (методах модального управления) на регулятор подаётся линейная комбинация сигналов обратных связей, т.е. используются несколько координат, что более эффективно.

3. Почти все методы проектирования систем управления, дающие «наилучшее» решение, основаны на использовании моделей в переменных состояния. Под «наилучшей» системой мы подразумеваем такую систему, в которой минимизируется (или максимизируются) значение некоторого функционала, выбранного в качестве критерия, оценивающего работу системы. Среди большего числа критериев широкое распространение получили интегральные критерии от квадратичных форм. В пакете Control System Toolbox имеется набор команд, которые упрощают эти важные и очень трудоемкие операции.

4. Так как объект, заданный в переменных состояния, раскрывает связь между внутренними координатами, то имеется возможность более экономно описать математическими выражениями эти закономерности. Это упрощает написание программ, входящих в состав современных цифровых систем. Если не все координаты объекта доступны измерению, то не измеряемые координаты объекта можно восстановить с помощью идентификатора (наблюдателя) и получить заданную динамику системы регулирования по измеренным и восстановленным координатам.

5. Расчет всех линейных систем (непрерывных, импульсных, цифровых) рассматривать с единых позиций метода пространства состояний, используя матричное исчисление, что позволяет формализовать методы расчета и относительно просто, по одному алгоритму, писать программы для моделирования этих систем. Причем, в связи с интенсивным развитием программного обеспечения, это преимущество непрерывно возрастает. Примером служит программа MatLab, которая для расчета, проектирования и исследования систем открывает возможности, которые трудно переоценить.

6. Написание программ для всего многообразия систем, заданных в пространстве состояния, осуществляется по единой методике.

Таким образом, современная теория управления требует от инженера:

- более глубоких знаний по математике;

- знакомства с пакетами прикладных программ, желательно MatLab;

- расчета систем на более высоком абстрактном уровне.

Последний термин нуждается в уточнении. При расчете относительно не сложных систем инженер имел возможность контролировать промежуточные результаты. При применении метода пространства состояния к сложным системам такой подход стал не только вредным, но и часто невозможным. Теперь от инженера требуется осуществить полный расчет системы, выставить расчетные параметры, а лишь затем приступить к их наладке, т.е. иметь возможности контролировать промежуточные результаты. Противоречия, свойственные абстрактным и наглядными результатами, можно проиллюстрировать следующим примером. Известно, что при описании систем методом пространства состояний дифференциальное уравнение n-го порядка заменяется n дифференциальными уравнениями первого порядка. В качестве независимых переменных выбираются фазовые координаты системы. В ТАУ использовался этот прием при исследовании нелинейных систем второго порядка на фазовой плоскости. При этом использовались только две координаты системы: отклонение выходной величины от установившегося значения - и скорость изменения этой величины - . При числе координат большем трех фазовый портрет системы терял наглядность, что и затормозило применение этого метода для расчета сложных систем. Когда к исследованию сложных систем регулирования привлекли математиков, то они отказались от наглядного представления результатов, которое свойственно инженерам, и перенесли исследование сложных систем в n-мерное пространство (увеличили уровень абстракции), что и позволило использовать формальный аппарат математики (методы матричного исчисления, функционального и векторного анализа) для анализа и синтеза систем регулирования. Аппарат матричных преобразований вводит n-мерное векторное пространство, которое используется в современной теории управления при описании динамики систем, а аппарат функционального анализа вводит n-мерное функциональное пространство, которое используется для описания сигналов. Так как эти пространства введены с единых позиций, то между ними просматривается логическая связь. Зададим вектор в трехмерном пространстве, который можно представить в виде линейной комбинации ортогональных векторов i, j, k

,

где , , - числа, характеризующие проекции на координатные оси.

Если векторы i, j, k стационарны, то имеем векторное пространство, если векторы , , являются функциями, то получим функциональное пространство. В векторном пространстве каждой точке пространства соответствует вектор, в функциональном пространстве - функция. В векторном пространстве совокупность чисел, характеризующих проекции вектора на координатные оси, характеризует вектор, в функциональном пространстве совокупность чисел характеризует функцию.

В математике предложено достаточно большое число функций, которые в функциональном пространстве могут быть выбраны в качестве базисных. Одной из самых распространенных систем базисных функций являются функции и , где , - размерность фазового (n-мерного) пространства. И если функция представляется в виде ряда Фурье

,

то в функциональном пространстве эта функция задается набором чисел и .

Поворачивая оси координат (по-разному ориентируя их в пространстве) один и тот же вектор может быть выражен разной комбинацией чисел. Так же используя различные системы базисных функций можно одну и ту же функцию выразить разной комбинацией чисел. Причем для представления функции с одинаковой точностью необходимое число функций (размерность пространства n) в зависимости от системы базисных функций может быть разной.

Состояние объекта регулирования (набор переменных состояния) – вектор фазовых координат системы, может быть представлен в различных базисных системах. Сигналы, проходящие в системе – функции, также могут быть представлены в различных базисах. Объект регулирования, в зависимости от выбранной базисной системы и ее ориентации, будет иметь разную математическую запись и разные схемы моделирования. Передаточные функции связывают выход системы с входом. Модель в пространстве состояния также связывает выход с входом, но дополнительно раскрывает внутренние связи объекта, что делает модель пространства состояния не однозначной. Например, при исследовании систем управления двигателями переменного тока, используя ограничения и разнообразные системы координат, различных схем моделирования можно предложить более тысячи. При этом для каждого представления объекта будет своя схема моделирования и свои координаты переменных состояния. Поэтому следует применять такую систему координат, чтобы схема моделирования была возможно проще и чтобы возможно большее количество координат переменных состояния было доступно для измерения. В этом случае имеется возможность спроектировать более простую и более надежную систему регулирования.

Следует отметить, что структурными преобразованиями можно перейти от моделей на основе структурных схем (классический метод) к матричным моделям (современная теория управления), что показывают эквивалентность САУ с точки зрения качества переходных процессов. Однако реализация законов управления и опыт их внедрения для разных систем схем представления разный. Например, задание на проектирование системы по расположению корней характеристического уравнения замкнутой системы, что свойственно методам современной теории управления, менее информативно, чем задание частотных характеристик или числовых характеристик переходной функции. Представления систем набором матриц, а не в виде структурных схем, отвлекает проектировщика от физических процессов в САУ и не учитывает нелинейности, а вместо этого концентрирует его внимание на матричной алгебре. Поэтому одноконтурные системы целесообразно рассчитывать классическими методами. Если некоторые координаты не могут быть измерены, то метод структурных схем целесообразно дополнить наблюдателями (идентификаторами), синтезированными методами современной теории управления

Методы современной теории целесообразно применять тогда, когда требования к системе регулирования сформулированы в виде квадратичного функционала. В MatLab имеется набор команд определяющих матрицу усилений, оптимизирующую квадратный функционал. Однако правильно обосновать квадратный функционал крайне затруднительно и поэтому, после определения программой MatLab матрицы усилений, полученная САУ должна анализироваться классическими методами в частотной области.

Таким образом, два подхода, классический и современный, должны дополнять друг друга, но при увеличении сложности систем, а особенно при расчетах многоконтурных систем, целесообразность представления САУ методами уравнений состояний возрастает.

Sampling time: 0.1

Transfer function: %Передаточнаяфункциядискретной

z + 4 %системы H3.Время дискретизации

--------------- %не определено (не специфицирована)

z^2 + 2 z + 200 %

Sampling time: unspecified

Transfer function: %Передаточныефункции H4, H5

1 + 4 z^-1 %дискретных систем записаны

--------------------- %по убывающим степеням z

1 + 2 z^-1 + 200 z^-2

Sampling time: unspecified

Transfer function:

1 + 4 z^-1

---------------------

1 + 2 z^-1 + 200 z^-2

Sampling time: unspecified

Transfer function:

s^2 + 3 s + 2 %ПередаточнаяфункцияH1

------------------ %записана в формате tf

s^3 + 7 s^2 + 12 s

Zero/pole/gain: %Переходотформыtfкформеzpk

(s+2) (s+1)

-------------

s (s+4) (s+3)

a = %Переходотформыtfкформеss

X1x2 x3

x1 -7 -1.5 0 %Матрица коэффициентов a

X2 8 0 0

X3 0 2 0

b =

u1

x1 1%Матрица управления b

X2 0

X3 0

c =

x1x2 x3 %Матрица выхода c

Y1 1 0.375 0.125

d =

u1

Y1 0

Continuous-time model.

Transfer function: %Переходотформыssкформеtf

s^2 + 3 s + 2

------------------

s^3 + 7 s^2 + 12 s

Transferfunction: %Переходотформыzpkкформеtf

s^2 + 3 s + 2

------------------

s^3 + 7 s^2 + 12 s

Возможности пакета Control System Toolbox не ограничиваются приведенными командами. Для ознакомления с новыми командами и лучшего их использования целесообразно провести классификацию команд.

Функции пакета Control System Toolbox, описанные выше, могут быть классифицированы следующим образом.

Табл.1

Функции, создающие lti-модели.

set	Установка свойств
ss	Формирование ss-модели системы в явной форме Коши
dss	Формирование ss-модели системы в неявной форме Коши
tf	Формирование tf-модели в форме передаточной функции
zpk	Формирование zpk-модели
filt	Формирование модели в форме дискретного фильтра

Табл.2

Функции, преобразующие lti-модели.

c2d	Построение дискретной модели непрерывной системы
d2c	Построение непрерывной модели дискретной системы
d2d	Изменение периода дискретности
ss	Преобразование моделей к ss-форме
tf	Преобразование моделей к tf-форме
zpk	Преобразование моделей к zpk-форме

Табл.3

Функции, соединения lti-моделей.

parallel	Параллельное соединение (сложение lti-моделей)
series	Последовательное соединение (умножение lti-моделей)
feedback	Соединение с обратной связью
append	Объединение lti-моделей с добавлением входов и выходов
connect	Объединение lti-моделей с использованием матрицы соединений
star	Объединение взаимосвязанных многомерных моделей

Кроме приведенных выше функций к блоку команд формирования и преобразования lti-моделей следует отнести команды по извлечению информации об lti-моделях и команды, переопределяющие базисные функции. Однако при первом рассмотрении используются только команды, приведенные таб. 1, 2 и 3.

Для создания модели нужно предварительно либо привести уравнения всей системы к форме уравнений пространства состояний, либо найти передаточные функции системы. В общем случае это довольно сложная и громоздкая задача. В то же время реальные системы автоматического управления (САУ) состоят из соединенных между собой отдельных блоков (динамических звеньев), уравнения которых обычно достаточно просты. Поэтому в практике проектирования САУ принято использовать структурные методы, когда САУ задается как определенная схема соединения отдельных элементарных динамических звеньев, и фактически проектируется одно или несколько из этих звеньев таким образом, чтобы обеспечить заданное качество всей системы. В соответствии с этим в MatLab предусмотрена возможность "набирать" программно "схему" САУ путем предварительного ввода моделей звеньев, составляющих САУ, и последующего "соединения" этих звеньев в единую структуру. К процедурам, осуществляющим расчет характеристик соединений отдельных звеньев, относятся:

plus (minus) – выполняет "параллельное соединение" указанных при обращении звеньев, т.е. определяет характеристики модели системы из параллельно соединенных звеньев; особенностью является то, что вызов этих процедур может быть осуществлен не только обычным способом: путем указания имени процедуры и перечисления (в скобках после имени) идентификаторов соединенных звеньев, но и простым указанием идентификаторов звеньев, которые должны быть объединены, с простановкой между ними знаков "+" (при суммировании выходных сигналов звеньев) или "-" (при вычитании выходных сигналов).

parallel – осуществляет ту же процедуру параллельного соединения звеньев; в отличие от предыдущей процедуры может использоваться для многомерных систем и осуществления параллельного соединения лишь по некоторым входам и выходам;

mtimes (или знак "*" между именами звеньев) – осуществляет последовательное соединение звеньев, имена которых указаны; применяется для одномерных систем;

series – последовательное частичное соединение многомерных систем;

feedback – такое соединение двух звеньев, когда второе указанное звено составляет цепь отрицательной обратной связи для первого звена;

append – формальное объединение не связанных между собой систем (добавление выходов и входов второй системы к выходам и входам первой);

connect– установление соединений выходов и входов многомерной системы, созданной предварительно формальным объединением процедурой append; схема соединений задается матрицей соединений, указываемой как один из входных параметров процедуры;

inv – рассчитывает САУ, обратную указанной, т.е. такую, у которой выходы и входы поменяли местами;

vertcat – производит так называемую вертикальную конкатенацию (сцепление) систем (звеньев), т.е. такое их объединение, когда входы этих систем становятся общими, а выходы остаются независимыми; для такого объединения необходимо, чтобы число входов объединяемых систем было одинаковым; тогда число входов в результирующей системе останется таким же, как и в каждой из объединяемых систем, а число выходов будет равно сумме выходов объединяемых систем;

horzcat – осуществляет "горизонтальное сцепление" указанных систем, при котором выходы становятся общими, а входы добавляются.

Проиллюстрируем применение некоторых из этих процедур. Создадим модель управления двигателем постоянного тока состоящего из трех последовательно соединенных звеньев: регулятора ; усилителя мощности ; объекта регулирования . В цепи обратной связи стоит звено - , а регулятор тока состоит из параллельного соединения усилительного звена - и интегрирующего .

Параллельное соединение и можно осуществить двумя способами: либо используя команду parallel.

Wn=tf(0.2,1) %Исходные данные

Transfer function:

0.2

Wi=tf(23.8,[1,0]) %Исходные данные

Transfer function:

23.8

----

s

Wrt=parallel(Wn,Wi) %Переменные команды parallel

Transfer function: %Результатвыполнения

0.2 s + 23.8 %командыparallel

------------

s

либо применяя операцию "Сложение" моделей

Wrt=Wn+Wi

Transferfunction: %Результат применения

0.2 s + 23.8 %операции «Сложение»

------------

s

Последовательное соединение звеньев , и можно так же осуществить двумя способами – применением процедур series.

Wum=tf(22,[0.003,1]) %Исходныеданные

Transfer function:

-----------

0.003 s + 1

Wor=tf(92,[0.008,1]) %Исходныеданные

Transfer function:

-----------

0.008 s + 1

Wps=series(Wrt,Wum*Wor)

Transfer function:

404.8 s + 4.817e004 %Результатвыполнения

---------------------------- %команды series

2.4e-005 s^3 + 0.011 s^2 + s

или

Wps=series(Wrt*Wum,Wor)

Transfer function:

404.8 s + 4.817e004 %Результатвыполнения

---------------------------- %команды series

2.4e-005 s^3 + 0.011 s^2 + s

либо просто перемножив передаточные функции моделей

Wps=Wrt*Wum*Wor

Transfer function:

404.8 s + 4.817e004

----------------------------

2.4e-005 s^3 + 0.011 s^2 + s

Теперь найдем модель замкнутой системы управления двигателем постоянного тока по управлению, используя команду feedback. В цепи обратной связи стоит усилительное звено .

KDT=0.0345 %Коэффициент обратной связи

Wzu=feedback(Wps,KDT) %Передаточная функция замкнутой

%системы по управлению

Transferfunction:

404.8 s + 4.817e004

-------------------------

2.4e-005 s^3 + 0.011 s^2 + 14.97 s + 1662

Аналогично определяется передаточная функция замкнутой системы по возмущению.

UZB=feedback(Wor,KDT*Wrt*Wum)

Transferfunction: %Передаточная функция замкнутой

%системы по возмущению

0.276 s^2 + 92 s

-------------------------

2.4e-005 s^3 + 0.011 s^2 + 14.97 s + 1662

В приведенных примерах команды MatLab использовались для определения передаточных функций простых систем и их применение, во-первых, очевидно, а, во-вторых, не очень экономит время. Эффективность применения команд MatLab, которые приведены в урезанном виде, значительно возрастает при исследовании сложных многомерных систем с перекрестными связями.

СОДЕРЖАНИЕ.

Методы исследования систем регулирования