Постановка задачи о различии средних для зависимых выборок
Существует много практических задач, в которых две сравниваемые выборки взаимосвязаны в силу особенностей организации эксперимента или просто потому, что этой взаимосвязи нельзя избежать.
Примеры зависимых выборок:
- первая и вторая выборки состоят из наблюдений типа «до – после»;
- первая выборка – совокупность значений времени самостоятельного выполнения задания, а вторая – совокупность значений времени выполнения задания под наблюдением и при руководстве преподавателя.
В практике психологических, педагогических, медицинских исследований часто используются так называемые парные сравнения. При парных сравнениях нельзя использовать методы для независимых выборок, поскольку это приведет к большим ошибкам.
Парные сравнения выгодно использовать, если удастся организовать эксперимент так, что будет устранено влияние мешающих факторов (эффект обучения, усталость и т.д.). При парных сравнениях нельзя использовать рассмотренные выше методы для независимых выборок, поскольку это приведет к большим ошибкам. Для сравнения средних значений здесь используется модификация -критерия для связанных выборок. Особенность в том, что гипотеза формулируется в отношении разностей
сопряженных пар наблюдений.
Для сравнения средних значений здесь используется модификация -критерия Стьюдента для зависимых выборок.
Постановка задачи.Даныдве зависимыевыборки объема , то есть связанные пары наблюдений:
,
, …,
. Проверяется гипотеза
о равенстве математических ожиданий
. Альтернативной гипотезой
является гипотеза
.
Условия применения -критерия для зависимых выборок
1. Измерение признака проведено в шкале интервалов и отношений.
2. Сравниваемые выборки случайно извлекаются из нормальных совокупностей с одинаковой дисперсией.
3. Предполагается, что разность связанных пар результатов измерения имеет нормальное распределение с параметрами
и
.
Критерий (правило) проверки гипотезы
1. Формулируем нулевую гипотезу :
, что генеральные средние равны.
2. Формулируем альтернативную гипотезу .
3. Назначаем уровень значимости .
4. Делаем предположение о нормальном распределении разностей .
5. Вычисляется эмпирическое значение -критерия по формуле
,
где величины ;
.
6. По таблице критических значений -критерия распределения Стьюдента находится критическое значение
при уровне значимости
и числе степеней свободы
.
7. Сравниваем и
. Если
, то гипотеза
отклоняется, так как
попало в критическую область. Значит, наблюдаемое различие между средними значениями двух связанных выборок значимо на уровне значимости
. Если
, то различие между средними значениями двух связанных выборок статистически незначимо.