Статистическая детерминированная модель без дефицита

1. Предположение о том, что дефицит не допускается полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций и .Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени равно .

Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т.е. . Эту интенсивность можно найти, разделив общее потребление продукта, на время в течении которого он расходуется:

(3.3)

Пополнение заказ происходит партиями одинакового объема, т.е. функция не является непрерывной:

при всех , кроме моментов поставки продукта, когда , где - объем партии. Так как интенсивность расхода равна , то вся партия будет использована за время

(3.4)

Если отчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии , т.е. .

На временном интервале уровень запаса уменьшается по прямой от значения до , т.к. дефицит не допускается, то в момент за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения повторяется на каждом временном интервале продолжительностью см. рисунок.

Рис. 1.

Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии , при котором суммарные затраты на возрастание и хранение запаса были бы минимальными.

Обозначим суммарные затраты - , затраты на создание запаса - , затраты на хранение запаса - и определим эти величины за весь промежуток времени .

Пусть затраты на доставку одной партии продукта, независимые от объема партии равны , а затраты на хранение одной единицы продукции в единицу времени - . Так как за время необходимо запастись единицами продукции, который доставляется партиями , то число таких партий равно:

(3.5)

Тогда (3.6) – затраты нВ создание запаса . Мгновенные затраты хранения запаса в момент времени равны . Значит, за промежуток времени они составят

или учитывая, что , получим:

.

Средний запас за промежуток равен , т.е. затраты на хранение всего запаса при линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса, учитывая периодичность функции (всего за промежуток времени будет «зубцов»), аналогичных рассмотренному на отрезке и формулу (3.5) получаем что затраты хранения запаса за промежуток времени равны:

(3.7)

Из полученных выражений следует, что затраты обратно пропорциональны, а затраты прямо пропорциональны объему партии графики функций и , а также суммарных затрат

(3.8)

Приведены на рисунке

В точке минимума C(n) ее производная C’(n)

откуда

(3.9)

или учитывая, что , можно записать

(3.10)

Эту формулу называют формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного объема партии. Ее широко используют в экономике.

Эту формулу можно получить и другим способом, учитывая, что произведение – есть величина постоянная, не зависящая от n. В этом случае, как известно, сумма двух величин принимают наименьшее значение когда они равны, т.е. C₁=C₂ или , отсюда получаем

(3.11)

Из выражения следует, что минимум общих затрат задачи управлениями запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты:

(3.12)

откуда получаем: или

(3.13)

Число оптимальных партий за время равно:

Умножим и разделим на , т.к.

Время расхода оптимальной партии на основании и с учетом и будет:

(3.14)

или

(3.15)

Пример 2. Потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120000 деталей в год, причем эти детали расходуются в процесс производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден.ед. в сутки, а поставка партии – 10000 ден.ед. Задержка производства из-за отсутствия деталей недопустима. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, которые нужно указать в заказе (предполагается, что поставщик не допускает задержки поставок).

Решение: По условию с₁=10000 ден.ед., затраты на хранение единицы запаса в сутки с₂=0,35 ден.ед. Общий промежуток времени =1 год=365 дней. Общий объем запаса за этот период N=120000 дет. Тогда по формуле:

; дет.

; (дней)

Ответ: 1. наиболее экономичный объем партии – 4335 деталей

2. интервал между поставками дней

На практике, естественно, объем партии может отличаться от оптимального n₀. Так в рассмотренной выше задаче может оказаться удобным заказывать партии на 4500 или даже по 5000 деталей и возникает вопрос, как при этом изменяются суммарные затраты.

Для ответа на этот вопрос разложим функцию C(n) в ряд Тейлора в окрестности точки n₀, ограничившись первыми тремя членами ряда при достаточно малых изменениях объема партии

Учитывая, что при n=n₀ C’(n₀)=0: , а C₀=C(n₀) определяется по формуле (3.12) получим:

или

(3.16)

Полученная формула (3.16) свидетельствует об определенной устойчивости суммарных затрат по отношению к наиболее экономическому объему партии, ибо при малых относительное изменение затрат примерно на порядки меньше относительного изменения объема партии по сравнению с оптимальным.

Пример 3. По условию предыдущей задачи определить, на сколько процентов увеличатся затраты на создание охранения запаса по сравнению с минимальными затратами при объеме заказываемых партий 5500 деталей.

Решение. Относительное изменение объема партии по сравнению с оптимальным n₀=4335, составляет

В соответствии с формулой (3.16), относительное суммарное изменение затрат составит

или лишь 3,6%

Пример 4. в условиях предыдущей задачи предположим, что заказываются не все партии сразу, а каждая отдельно, причем срок выполнения заказа равен 16 дней. Определить точные заказы, т.е. при каком уровне запаса следует заказывать следующую партию.

Решение. Как следует из решения примера 2, длина интервала между поставками равна 13,2 дня, то заказ в условиях налаженного производства следует возобновить, когда уровень достаточен для удовлетворения потребности на 16-13,2=2,8 дня. Так как ежедневная потребность (интенсивность расхода запаса) определяется по формуле: b=120000/365=329 деталей, тогда запасы должны делаться регулярно при достижении уровня запаса деталь.