Основная волна прямоугольного волновода

Тема 4

Прямоугольный волновод

Вывод формул для поля

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения (рис.7). Предположим, что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами ε и μ. В такой направляющей системе могут существовать волны Е и H и не могут существовать ТЕМ-волны. На рис. 7 показаны используемая система координат и размеры а и b поперечного сечения волновода. Для определенности будем считать, что а≥b, а источники, создающие поле, расположены со стороны отрицательных значений переменной z за пределами рассматриваемой части линии передачи (созданная ими волна распространяется в положительном направлении оси Z). При а>Ь стенки с поперечными размерами а и b будем называть соответственно широкой и узкой стенками прямоугольного волновода.

Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные, то для вычисления поля волн Е и Н достаточно определить составляющую E_mz или Н_тz соответственно. Составляющие Е_тz и H_mz удовлетворяют уравнению Гельмгольца

(1)

Рис.7

где функция w равна E_mz для E-волн и Н_тz- для Н-волн, = k²-β², а β - коэффициент фазы рассматриваемой волны. Правая часть уравнения (1) равна нулю, так как по предположению сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой части волновода. Фактически задача состоит в нахождении так называемых собственных волн прямоугольного волновода.

Для решения уравнения (1) применим метод разделения переменных. Запишем функцию w в виде w≡w (x, y, z, t) = w⁰(x, у) exp [I (ωt-βz)]. Очевидно, что функция w⁰(x,y) также удовлетворяет уравнению (1). Представим ее в виде произве­дения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

w⁰(x,y) = X(x) Y(y).(2)

Перейдем в (1) кфункции w⁰ (x, у) и подставим (2). После деления обеих частей уравнения на произведение Х(х)У(у) получаем

(3)

Так как переменные x и у являются независимыми, то левая часть уравнения (3) представляет собой сумму двух независимых функций, а правая равна постоянной. Это возможно только при выполнении соотношений d²X/dx² + γ_x²Χ = 0 и d²Y/dy² + γ_y²Y = 0, где γ_x и γ_y - некоторые, пока неизвестные постоянные, удовлетворяющие равенству

γ_x²+ γ_y²= (4)

Решая полученные уравнения, находим

Х(х) = A sin (γ_x х) + B cos (γ_xx)_,

У (у) = С sin (γ_y у) + D cos (γ_yy)

где А, В, C и D - некоторые, пока также неизвестные, постоянные.

В случае Е-волн (E_z≠0, H_z=0) функция w-E_mz. Составляющая E_тz является касательной ко всем стенкам волновода. Поэтому должны выполняться следующие краевые условия:

w⁰ (0, y) = 0, w⁰ (x, 0) = 0, (6)

w⁰ (а, у) = 0, w⁰ (х, b) = 0, (7)

где 0≤х≤а, 0≤у≤b. Равенства (6) эквивалентны условиям X(0) = 0 и Y(0) = 0 из которых следует, что B = 0 и D= 0. Из условий (7) вытекают равенства A sin (γ_x) = 0 и C sin (γ_y b) = 0. Постоянные А и С должны быть отличны от нуля, иначе E_тz ≡ 0, что в случае Ε-волн невозможно. Поэтому имеют место соотношения

sin (γ_xa) = 0 и sin {γ_yb) = 0. (8)

Из (8) находим значения постоянных γ_x и γ_y:

Отметим, что в случае Ε-волн значения m = 0иn= 0 не годятся, так как при этом случае E_тz = 0 во всех точках внутри волновода.

Введем обозначение A×C = E_0z и выпишем окончательные выражения для составляющих векторов поля Ε-волн в прямоугольном волноводе:

E_mv (x,y,z)=E⁰_v(x,y)exp(-iβz)_, v = x,y,z, (10а)

H_mv(x,y,z) = H_v⁰(x_,y)exp(-iβz), v = x,y,

где

E⁰_z (x, у) = E_0zsin (m π x/a) sin (n π y/b),

E⁰_х(х, у) = -i (β / ) E_0z (m π x/a) cos(m π x/a) sin(n π y/b),

E⁰_y(x,y) = -i(β / ) E_0z (m π x/b) sin(m π x/a)cos(n π y/b), (10б)

H⁰_х(х, у) = ί (ωε/ ) E_0z (m π x/b) sin(m π x/a)cos(n π y/b),

H⁰_y(х, у) = -ί (ωε/ ) E_0z (m π x/a) cos(m π x/a) sin(n π y/b),

H⁰_y(х, у) = 0.

Индекс m в формулах (10а) и (10б) имеет совершенно разный смысл. В (10а) он указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в (10б) индекс т - натуральное число, определяющее значение постоянной γ_x1 как это следует из формулы (10.9).

Значение постоянной находится из формул (4) и (9):

(11)

Зная , определяем критическую длину волны:

(12)

Коэффициент фазы β вычисляется по известной формуле.

Перейдем к анализу свойств поля E-волн, описываемого выражениями (10), выведем формулы для поля H-волн в прямоугольном волноводе. Волны E и H имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно.

В случае H-волн (H_z ≠ 0, E_z=0) функция w=H_mz. Решение уравнения (1) строится так же, как для Ε-волн. Изменяются только краевые условия. Требуя, чтобы касательные составляющие вектора E на стенках волновода обращались в нуль, имеем

(13)

Но искомой является функция w, поэтому выписанные краевые условия следует преобразовать в условия для функции w. Поперечные составляющие вектора Eт выражаются через Hmz. Из этого соотношения и краевых условий (13) после перехода к функции w0(x, у) получаем

(14)

(15)

Равенства (14) эквивалентны условиям Х'(0) = 0 и Y' (0) = 0, из которых следует, что, A=C=0, т.е. Х(х)-В cos (γ_xx) и Y(у) = D cos (γ_уу). Так как B≠0 и D≠0 (в противном случае Hz ≡ 0), то из соотношений (15) вытекают уравнения (.8). Следовательно,

γx=mπ/а, m = 0,1,2… γx=nπ/b, n = 0,1,2… (16).

В отличие от (9) в случае H-волн индексы m и n могут принимать нулевые значения. Однако они не могут равняться нулю одновременно: при этом составляющая Hz не зависит от переменных x и у и вектор E будет тождественно равен нулю, что невозможно. Выпишем окончательные выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов поля Н- волн в прямоугольном волноводе:

(17а)

H_0z(х, у) = H_0z cos(m π x/a) cos(n π y/b),

(17б)

H_0х(х, у) = i (β / ) (m π /a) H_0z sin(m π x/a) cos(n π y/b),

H_0y(х, у) = i (β / ) (n π /b) H_0z cos(m π x/a) sin(n π y/b),

E_0х(х, у) = ί (ωε/ ) (n π x/b) H_0z cos(m π x/a) sin(n π y/b),

E_0х(х, у) = -ί (ωε/ ) (m π x/a) H_0z sin(m π x/a) cos(n π y/b),

E_0z(х, у) = 0

Аналогично случаю Ε-волн в формулах (17а) индекс m указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в формулах (17б) n связано с постоянной γ_x соотношением (16).

Составляющие векторов поля Η-волн найдены с точностью до произвольного постоянного множителя H₀z, определение которого в рамках выбранной электродинамической модели невозможно (см. аналогичное замечание, сделанное при анализе Е-волн).

Легко показать, что поперечное волновое число γx и критическая длина волны λκр в случае Η-волн также определяются формулами (11) и (12) соответственно.

Перейдем к анализу свойств E- и Η-волн в прямоугольном волноводе. Как видно из формул (10) и (17), в прямоугольном волноводе возможно существование различных E- и Н-волн, структура поля которых зависит от значений индексов тип. Каждая пара значений индексов тип определяет свои волны, которые обозначают Еmn (в случае Ε-волн) или Нmn (в случае Н-волн). При этом у Ε-волн m ≥ 1 и n ≥ 1, а у Η-волн один из индексов может равняться нулю. Структура поля в поперечном сечении (при фиксированном значении координаты z) аналогична структуре

Рис.8

стоячей волны, и ее можно характеризовать длинами волн λx = 2а/т и λy =2b/п в направлениях осей X и У соответственно. Индекс m, таким образом, равен числу полуволн (λx/2), укладывающихся на поперечном размере а стенки, параллельной оси X. Аналогично индекс n равен числу полуволн (λy/2), укладывающихся на поперечном размере b стенки, параллельной оси Y. Равенство нулю одного из индексов означает, что поле рассматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты (при m = 0 - от координаты х, а при n = 0 - от координаты у).

Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов E и Η вдоль оси Ζ описывается множителем exp(-ißz). Распространение волны происходит только при λ < λкр (предполагается. что в волноводе отсутствуют потери энергии). Критическая длина волны вычисляется по формуле (12). Она зависит от размеров а и b и от индексов m и n. При увеличении значений индексов m и n и фиксированных размерах а и b значение λкр уменьшается. Наибольшую λκρ среди всех возможных волн при а > b имеет волна Н10. Соответствующая ей λκρ равна 2а. При а = b наибольшую λкр имеют две волны Н10 и Н01. Волну, имеющую наибольшую λкр, называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или волной низшего типа). Таким образом, при а>Ь основной волной прямоугольного волновода является волна Н10.

Рис 9

Рис 10

Отметим, что, зная структуру поля волны E11, легко построить структуру поля волны Еmn при любых значениях индексов m и n. Например, структура поля волны Ε21 представляет собой объединение структур двух волн Е11 (рис. 8). Для построения структуры волны Еmn нужно мысленно разделить волновод на mn "волноводных секций". Структура поля в каждой секции будет соответствовать структуре поля волны Е11 а линии векторов будут непрерывно переходить из одной "секции" в другую. Аналогично волну Н20 можно представить как бы состоящей из двух волн Н10.

Структура поля волны Н20 в поперечном сечении показана на рис.11.

Рис 11

При λ>λкр волна не распространяется: образуется стоячая волна, амплитуды составляющих векторов Ε и Η которой экспоненциально убывают вдоль оси Z (в этом случае ß= -i|ß| и exp (-ißz) = exp(-|ß|z). Напомним, что анализ прово дится в предположении отсутствия потерь.

Тема 4

Прямоугольный волновод

Вывод формул для поля

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения (рис.7). Предположим, что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами ε и μ. В такой направляющей системе могут существовать волны Е и H и не могут существовать ТЕМ-волны. На рис. 7 показаны используемая система координат и размеры а и b поперечного сечения волновода. Для определенности будем считать, что а≥b, а источники, создающие поле, расположены со стороны отрицательных значений переменной z за пределами рассматриваемой части линии передачи (созданная ими волна распространяется в положительном направлении оси Z). При а>Ь стенки с поперечными размерами а и b будем называть соответственно широкой и узкой стенками прямоугольного волновода.

Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные, то для вычисления поля волн Е и Н достаточно определить составляющую E_mz или Н_тz соответственно. Составляющие Е_тz и H_mz удовлетворяют уравнению Гельмгольца

(1)

Рис.7

где функция w равна E_mz для E-волн и Н_тz- для Н-волн, = k²-β², а β - коэффициент фазы рассматриваемой волны. Правая часть уравнения (1) равна нулю, так как по предположению сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой части волновода. Фактически задача состоит в нахождении так называемых собственных волн прямоугольного волновода.

Для решения уравнения (1) применим метод разделения переменных. Запишем функцию w в виде w≡w (x, y, z, t) = w⁰(x, у) exp [I (ωt-βz)]. Очевидно, что функция w⁰(x,y) также удовлетворяет уравнению (1). Представим ее в виде произве­дения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

w⁰(x,y) = X(x) Y(y).(2)

Перейдем в (1) кфункции w⁰ (x, у) и подставим (2). После деления обеих частей уравнения на произведение Х(х)У(у) получаем

(3)

Так как переменные x и у являются независимыми, то левая часть уравнения (3) представляет собой сумму двух независимых функций, а правая равна постоянной. Это возможно только при выполнении соотношений d²X/dx² + γ_x²Χ = 0 и d²Y/dy² + γ_y²Y = 0, где γ_x и γ_y - некоторые, пока неизвестные постоянные, удовлетворяющие равенству

γ_x²+ γ_y²= (4)

Решая полученные уравнения, находим

Х(х) = A sin (γ_x х) + B cos (γ_xx)_,

У (у) = С sin (γ_y у) + D cos (γ_yy)

где А, В, C и D - некоторые, пока также неизвестные, постоянные.

В случае Е-волн (E_z≠0, H_z=0) функция w-E_mz. Составляющая E_тz является касательной ко всем стенкам волновода. Поэтому должны выполняться следующие краевые условия:

w⁰ (0, y) = 0, w⁰ (x, 0) = 0, (6)

w⁰ (а, у) = 0, w⁰ (х, b) = 0, (7)

где 0≤х≤а, 0≤у≤b. Равенства (6) эквивалентны условиям X(0) = 0 и Y(0) = 0 из которых следует, что B = 0 и D= 0. Из условий (7) вытекают равенства A sin (γ_x) = 0 и C sin (γ_y b) = 0. Постоянные А и С должны быть отличны от нуля, иначе E_тz ≡ 0, что в случае Ε-волн невозможно. Поэтому имеют место соотношения

sin (γ_xa) = 0 и sin {γ_yb) = 0. (8)

Из (8) находим значения постоянных γ_x и γ_y:

Отметим, что в случае Ε-волн значения m = 0иn= 0 не годятся, так как при этом случае E_тz = 0 во всех точках внутри волновода.

Введем обозначение A×C = E_0z и выпишем окончательные выражения для составляющих векторов поля Ε-волн в прямоугольном волноводе:

E_mv (x,y,z)=E⁰_v(x,y)exp(-iβz)_, v = x,y,z, (10а)

H_mv(x,y,z) = H_v⁰(x_,y)exp(-iβz), v = x,y,

где

E⁰_z (x, у) = E_0zsin (m π x/a) sin (n π y/b),

E⁰_х(х, у) = -i (β / ) E_0z (m π x/a) cos(m π x/a) sin(n π y/b),

E⁰_y(x,y) = -i(β / ) E_0z (m π x/b) sin(m π x/a)cos(n π y/b), (10б)

H⁰_х(х, у) = ί (ωε/ ) E_0z (m π x/b) sin(m π x/a)cos(n π y/b),

H⁰_y(х, у) = -ί (ωε/ ) E_0z (m π x/a) cos(m π x/a) sin(n π y/b),

H⁰_y(х, у) = 0.

Индекс m в формулах (10а) и (10б) имеет совершенно разный смысл. В (10а) он указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в (10б) индекс т - натуральное число, определяющее значение постоянной γ_x1 как это следует из формулы (10.9).

Значение постоянной находится из формул (4) и (9):

(11)

Зная , определяем критическую длину волны:

(12)

Коэффициент фазы β вычисляется по известной формуле.

Перейдем к анализу свойств поля E-волн, описываемого выражениями (10), выведем формулы для поля H-волн в прямоугольном волноводе. Волны E и H имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно.

В случае H-волн (H_z ≠ 0, E_z=0) функция w=H_mz. Решение уравнения (1) строится так же, как для Ε-волн. Изменяются только краевые условия. Требуя, чтобы касательные составляющие вектора E на стенках волновода обращались в нуль, имеем

(13)

Но искомой является функция w, поэтому выписанные краевые условия следует преобразовать в условия для функции w. Поперечные составляющие вектора Eт выражаются через Hmz. Из этого соотношения и краевых условий (13) после перехода к функции w0(x, у) получаем

(14)

(15)

Равенства (14) эквивалентны условиям Х'(0) = 0 и Y' (0) = 0, из которых следует, что, A=C=0, т.е. Х(х)-В cos (γ_xx) и Y(у) = D cos (γ_уу). Так как B≠0 и D≠0 (в противном случае Hz ≡ 0), то из соотношений (15) вытекают уравнения (.8). Следовательно,

γx=mπ/а, m = 0,1,2… γx=nπ/b, n = 0,1,2… (16).

В отличие от (9) в случае H-волн индексы m и n могут принимать нулевые значения. Однако они не могут равняться нулю одновременно: при этом составляющая Hz не зависит от переменных x и у и вектор E будет тождественно равен нулю, что невозможно. Выпишем окончательные выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов поля Н- волн в прямоугольном волноводе:

(17а)

H_0z(х, у) = H_0z cos(m π x/a) cos(n π y/b),

(17б)

H_0х(х, у) = i (β / ) (m π /a) H_0z sin(m π x/a) cos(n π y/b),

H_0y(х, у) = i (β / ) (n π /b) H_0z cos(m π x/a) sin(n π y/b),

E_0х(х, у) = ί (ωε/ ) (n π x/b) H_0z cos(m π x/a) sin(n π y/b),

E_0х(х, у) = -ί (ωε/ ) (m π x/a) H_0z sin(m π x/a) cos(n π y/b),

E_0z(х, у) = 0

Аналогично случаю Ε-волн в формулах (17а) индекс m указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в формулах (17б) n связано с постоянной γ_x соотношением (16).

Составляющие векторов поля Η-волн найдены с точностью до произвольного постоянного множителя H₀z, определение которого в рамках выбранной электродинамической модели невозможно (см. аналогичное замечание, сделанное при анализе Е-волн).

Легко показать, что поперечное волновое число γx и критическая длина волны λκр в случае Η-волн также определяются формулами (11) и (12) соответственно.

Перейдем к анализу свойств E- и Η-волн в прямоугольном волноводе. Как видно из формул (10) и (17), в прямоугольном волноводе возможно существование различных E- и Н-волн, структура поля которых зависит от значений индексов тип. Каждая пара значений индексов тип определяет свои волны, которые обозначают Еmn (в случае Ε-волн) или Нmn (в случае Н-волн). При этом у Ε-волн m ≥ 1 и n ≥ 1, а у Η-волн один из индексов может равняться нулю. Структура поля в поперечном сечении (при фиксированном значении координаты z) аналогична структуре

Рис.8

стоячей волны, и ее можно характеризовать длинами волн λx = 2а/т и λy =2b/п в направлениях осей X и У соответственно. Индекс m, таким образом, равен числу полуволн (λx/2), укладывающихся на поперечном размере а стенки, параллельной оси X. Аналогично индекс n равен числу полуволн (λy/2), укладывающихся на поперечном размере b стенки, параллельной оси Y. Равенство нулю одного из индексов означает, что поле рассматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты (при m = 0 - от координаты х, а при n = 0 - от координаты у).

Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов E и Η вдоль оси Ζ описывается множителем exp(-ißz). Распространение волны происходит только при λ < λкр (предполагается. что в волноводе отсутствуют потери энергии). Критическая длина волны вычисляется по формуле (12). Она зависит от размеров а и b и от индексов m и n. При увеличении значений индексов m и n и фиксированных размерах а и b значение λкр уменьшается. Наибольшую λκρ среди всех возможных волн при а > b имеет волна Н10. Соответствующая ей λκρ равна 2а. При а = b наибольшую λкр имеют две волны Н10 и Н01. Волну, имеющую наибольшую λкр, называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или волной низшего типа). Таким образом, при а>Ь основной волной прямоугольного волновода является волна Н10.

Рис 9

Рис 10

Отметим, что, зная структуру поля волны E11, легко построить структуру поля волны Еmn при любых значениях индексов m и n. Например, структура поля волны Ε21 представляет собой объединение структур двух волн Е11 (рис. 8). Для построения структуры волны Еmn нужно мысленно разделить волновод на mn "волноводных секций". Структура поля в каждой секции будет соответствовать структуре поля волны Е11 а линии векторов будут непрерывно переходить из одной "секции" в другую. Аналогично волну Н20 можно представить как бы состоящей из двух волн Н10.

Структура поля волны Н20 в поперечном сечении показана на рис.11.

Рис 11

При λ>λкр волна не распространяется: образуется стоячая волна, амплитуды составляющих векторов Ε и Η которой экспоненциально убывают вдоль оси Z (в этом случае ß= -i|ß| и exp (-ißz) = exp(-|ß|z). Напомним, что анализ прово дится в предположении отсутствия потерь.

Основная волна прямоугольного волновода

Свойства волны. Как уже отмечалось, при а > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н10. Она имеет наибольшую критическую длину волны, равную 2а. На заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по прямоугольному волноводу, для этой волны можно выбрать наименьшими. При этом волновод будет иметь наименьшие массу, габариты и стоимость.

Полагая в (17) m = 1 и n = 0 и учитывая формулы (16), получаем следующие выражения для составляющих комплексных амплитуд векторов Ε и Η в случае волны Н10.

E_my =-i(ωμπ/a)Η_0z sin(πx/a)exp(-iß₁₀z),

H_mx = i(ß₁₀π/a) H_0z sin(πx/a)exp(-iß₁₀z),

Н_mz = Н_0z соs(π х/а)ехр(-iß₁₀z),

E_mx = E_mz = 0, Н_0y = 0,

где

(18)

Структура поля волны Н10, построенная в соответствии с формулами (18), показана на рис.9 и 12. Остановимся на картине распределения поля волны Ню в плоскостях, параллельных широким стенкам волновода.

Рис 12

Согласно уравнениям Максвелла замкнутые линии магнитного поля должны охватывать токи проводимости или токи смещения. В волноводе замкнутые линии магнитного поля пронизываются токами смещения. В случае волны Н10 (см. рис.12) линии магнитного поля охватывают токи смещения, текущие между широкими стенками параллельно оси У. В распространяющейся волне максимальная плотность тока смещения получается в центре замкнутых магнитных силовых линий, где напряженность электрического поля равна нулю. Это следует из того, что вектор плотности тока смещения и, следовательно, сдвинут по фазе относительно вектора напряженности электрического поля на угол π/2, т.е. расстояние между максимумом плотности тока смещения и максимумом напряженности электрического поля вдоль оси Ζ в фиксированный момент времени равно Λ/4.

Фазовая скорость νф, скорость распространения энергии vэ, длина волны в волноводе Λ и характеристическое сопротивление Zc в случае волны Н10 вычисляются по формулам

(19)

Рис 14

Рис 13

Можно представить волну Н10 в виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн.

Поле волны Н10 не зависит от переменной у. Следовательно, поля парциальных волн также не должны зависеть от у, т.е. парциальные ТЕМ-волны должны распространяться, отражаясь от боковых (х = 0 и x = а) стенок волновода.

Пусть парциальная волна распространяется под углом φ к оси Ζ (волна 1 на рис.13). Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля этой волны Em1 определяется выражением

E_m1 = у₀ A exp[-ik(x sin φ + z соs φ)], (20)

где А - некоторая (в общем случае комплексная) постоянная. Электрическое поле волны Н10 имеет пучность на плоскости x = а/2 и симметрично относительно этой плоскости. Поэтому должна существовать еще одна парциальная ТЕМ-волна распространяющаяся, как показано на рис.13. Комплексная амплитуда напряженности электрического поля этой волны равна Ё_m2, причем │Ёm2│= │Ёm1│= А. Для образования пучности электрического поля в плоскости x = a/2 необходимо, чтобы векторы Ёm1 и Ёm2 при x = а/2 складывались синфазно. Для этого достаточно, например, чтобы фаза вектора Ёm2 в точке (а, 0, 0) совпадала с фазой вектора Ёm1 в точке (0, 0, 0). С учетом данного условия вектор

Ё_m2 =y₀А ехр (-ik [(a-х) sin φ + z соs φ]). (21)

Для определения угла φ учтем, что на поперечном размере а широкой стенки волновода должна укладываться половина длины волны λΧ1 а на отрезке ОА - половина длины волны ТЕМ (λ/2). Из треугольника ОАВ (см. рис.14) следует равенство sin φ =

При этом kа sin φ = (2π/λ) λ/(2a) = π, kх sin φ = πx/a, и полное электрическое поле определяется выражением

Ёm = Ё_m1 +Ё_m2 = - у₀2iA sin (πx/a) exp (-iß₁₀z). (22)

Полученный результат отличается от выражения для Ёmy в формуле (17) лишь постоянным коэффициентом, что несущественно, так как формулы (17) были найдены с точностью до произвольного постоянного множителя. Аналогично вычисляются составляющие Нmx и Нmz. Они отличаются от соответствующих выражений в (17) лишь тем же постоянным множителем.

По мере повышения частоты (уменьшения λ) уменьшается угол φ и, следовательно, тем меньше по абсолютной величине становится продольная составляющая Нmz по сравнению с поперечной составляющей Нmx , т.е. структура волны Н10 начинает приближаться к структуре волны ТЕМ. Одновременно, как следует из (19), уменьшается разница между v^H10_ф и с. Аналогично можно интерпретировать и другие типы волн в прямоугольном волноводе.