Лекция 2. Основные распределения случайных величин.

Лекция 2. Основные распределения случайных величин.

Основные дискретные распределения

Биномиальное распределение

Дискретная СВ X с реализациями , имеет биномиальное распределение с параметрами и , что символически записывается как , если вероятность события определяется формулой Бернулли:

(2.1)

Числовые характеристики биномиального распределения:

(2.2)

Правая часть формулы Бернулли совпадает с выражением для (к + 1) -го слагаемого в разложении бинома Ньютона , поэтому такое распределение называется биноминальным .

Наиболее вероятное значение биномиально распределённой случайной величины удовлетворяет неравенству

.

Ряд распределения биномиальной величины приведён в таблице

X			…	k	…	n-1	n
P			…		…

Условия возникновения. Проводится n одинаковых независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Случайная величина X - число опытов, в которых произошло событие А (см. теорему о повторении опытов) имеет биномиальное распределение.

Геометрическое распределение

Дискретная СВ X с реализациями , имеет геометрическое распределение с параметром , что символически записывается как , если вероятность события определяется формулой:

(2.3)

Числовые характеристики геометрического распределения:

(2.4)

Вероятности образуют геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем , поэтому это распределение называется геометрическим.

Ряд распределения величины, распределённой по геометрическому закону приведён в таблице

X			…	k	…
P			…		…

Условия возникновения. Проводится ряд одинаковых независимых опытов до первого появления некоторого события А. Случайная величина X - число проведенных безуспешных опытов до первого появления события А.

Распределение Пуассона

Дискретная СВ X с реализациями , имеет распределение Пуассона с параметром , что символически записывается как , если вероятность события определяется формулой:

(2.5)

Числовые характеристики распределения Пуассона:

(2.6)

Наиболее вероятное значение пуассоновской случайной величины удовлетворяет неравенству

.

На практике СВ имеет, как правило, физическую размерность. В этом случае физические размерности и не совпадают, хотя их числовые значения для распределения Пуассона равны.

Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального, когда число опытов п неограниченно увеличивается , а вероятность р события A в одном опыте стремится к 0 , так что существует предел

Поэтому при больших и малых двухпараметрическое биномиальное распределение можно приближенно заменить однопараметрическим распределением Пуассона , где . Ошибка от такой замены не превышает :

Ряд распределения величины, распределённой по закону Пуассона приведён в таблице

X			…	k	…
P			…		…

Условия возникновения. Распределение Пуассона широко используется в теории массового обслуживания при описании потоков случайных событий.

Рассмотрим временную ось, на которой будем отмечать моменты возникновения случайных событий (например, отказы компонентов в сложном техническом устройстве, заявки на обслуживание и т.п.). Последовательность таких моментов называется потоком случайных событий.

Поток случайных событий называется стационарным, если число событий, приходящихся на интервал , в общем случае не зависит от расположения этого участка на временной оси и определяется только его длительностью, т.е. среднее число событий в единице времени X (интенсивность потока - ) постоянно.

Поток случайных событий называется ординарным, если вероятность попадания в некоторый малый участок двух и более случайных событий значительно меньше, чем вероятность попадания одного события.

В потоке отсутствует последействие, если вероятность попадания событий на участок не зависит от того, сколько событий попало на другие участки, не пересекающиеся с данным.

Поток случайных событий называется пуассоновским, если он является ординарным и без последействия. Пуассоновский поток случайных событий называется простейшим, если он стационарный.

Распределение событий простейшего потока с интенсивностью на временном интервале длиной является пуассоновским:

(2.7)

Равномерное распределение

СВ X распределена равномерно на отрезке , т.е. , если её плотность распределения имеет вид

(2.8)

а функция распределения определяется выражением

(2.9)

Графики плотности и функции распределения представлены на рисунках

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой величины определяются следующими выражениями:

(2.10)

(2.11)

Равномерное распределение является непрерывным аналогом дискретного распределения вероятностей для опытов с равновероятными исходами.

СВ X, являющаяся погрешностью приближенных вычислений каких-либо параметров при округлении до ближайших целых чисел, удовлетворительно описывается распределением .

Нормальное распределение

СВ X имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами т и , т.е. , если

(2.16)

Рис. 1

При этом СВ называется нормальной (гауссовской). График плотности нормального распределения (рис. 1), называемый кривой Гаусса, имеет единственный максимум в точке .

Свойства нормального распределения

1. Найдем выражение для функции распределения СВ :

(2.17)

Обозначим , тогда . С учетом введенного обозначения

Окончательно получаем

Здесь введено обозначение для функции распределения стандартной нормальной СВ Y~ N(0:1). График функции распределения F(x) представлен на рис. 2.

Рис. 2

Вместо в справочниках встречается также функция Лапласа

Легко убедиться в том, что и .

2. С помощью линейного преобразования нормальное распределение переходит в стандартное нормальное N(0; 1) с функцией распределения .

3. Нормально распределенная СВ с большой вероятностью принимает значения, близкие к своему МО, что описывается «правилом k сигм»:

Нормальное распределение имеет широкое распространение в прикладных задачах. Это связано с тем, что в реальности многие исследуемые СВ являются следствием различных случайных событий. В частности, при достаточно общих предположениях сумма большого числа независимых СВ имеет распределение, близкое к нормальному

Пример Рост людей хорошо описывается нормальным распределением. Это, по-видимому, связано с тем, что на рост влияет суперпозиция разнообразных независимых случайных факторов: климата, экологии, экономических условий, болезней и т.д. Погрешности измерительных приборов в навигационных системах ЛА также хорошо описываются нормальным законом.

Лекция 3. Законы распределения компонент случайного вектора (случайных величин). Корреляционная зависимость. Многомерное нормальное распределение

Задача композиции.

В одном из важных частных случаев функциональной зависимости возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент. Если, например, - НСВ с известной плотностью совместного распределения компонент и , то

(4.23)

Если ДСВ, то закон распределения ДСВ записывается в виде

где суммирование распространяется на все значения индексов и , для которых выполняется условие .

В частности, если - ДСВ с независимыми компонентами, то

(4.24)

Если - НСВ с независимыми компонентами, то формула (4.23) приводится к свертке двух плотностей:

(4.25)

Задача определения закона распределения суммы независимых случайных величин носит название задачи композиции. Описанные выше формулы (4.24) и (4.25) дают непосредственное решение задачи композиции. Формулу (4.25) удобно применять в тех случаях, когда плотности распределения вероятностей компонент описываются одной формулой на всей оси (что, например, справедливо для нормального закона, закона Коши и т.д.). Другой подход к решению задачи композиции основан на применении свойств характеристической функции (см. ниже). Так как , то, найдя , можно по характеристической функции восстановить закон распределения случайной величины Z.

Закон распределения W определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины X и У подчиняются закону распределения данного вида, следует, что их сумма X + Y подчиняются закону распределения W того же вида.

Пример. Доказать композиционную устойчивость нормального закона.

5. Характеристические функции случайных величин.Если — комплекснозначная случайная величина, где X и Y — действительные случайные величины, то М [Z] = М [X] + i М [У].

Характеристической функцией g_x(t) случайной величины X называется комплекснозначная неслучайная функция действительного аргумента t определяемая равенством

Для НСВ характеристическая функция представляет собой преобразование Фурье от плотности распределения. Поэтому плотность выражается как обратное преобразование Фурье от характеристической функции

Свойства характеристической функции

1. 
2. Если - характеристическая функция случайной величины и то

1. 
2. Если случайные величины независимы, а , то

Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная неслучайная функция действительных переменных :

Пример. Найти числовые характеристики случайной величины , распределённой по закону Пуассона, используя характеристическую функцию.

По свойству 3 находим

Дисперсию находим по формуле

Окончательно находим

Литература

1. Статистическая динамика и оптимизация управления летательных аппаратов: Учебн. пособие для авиационных специальностей вузов/ А, А. Лебедев, В. Т. Бобронников, М. Н. Красильщиков, В. В. Малышев. – М. Машиностроение, 1985.

2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1999.

3. Кибзун А. И., Горяинова Е. Р., Наумов А. В., Сиротин А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

4. Сборник задач по математике для втузов. Часть 4: /Под общей ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. – М.: Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Лекция 2. Основные распределения случайных величин.