Основные характеристики случайного процесса

Основными характеристиками СП являются математическое ожидание и корреляционная функция. Раздел теории СП, в котором изучаются и используются эти характеристики называется корреляционной теорией. Для определения основных характеристик достаточно задания ПВ второго порядка. Поэтому они не характеризуют СП так полно как многомерные ПВ. Более того, два различных СП могут иметь одинаковые математические ожидания и корреляционные функции. Однако многие практические задачи, например, связанные с анализом систем регулирования, могут быть решены в рамках корреляционной теории. Практическое значение корреляционной теории возрастает вследствие того, что для нормальных СП, наиболее часто используемых в моделях сигналов и других физических процессов, эта теория дает полное описание СП.

Математическое ожидание (среднее значение) m_x(t₁) СП X(t) равно математическому ожиданию сечения процесса X(t₁)=X₁, определенному при всех значениях отсчетного момента t₁ из области задания СП t₁ÎT

. (3.2.1)

В общем случае, как следует из (1), математическое ожидание СП является функцией времени. Если из СП X(t) вычесть его математическое ожидание, то получим центрированный СП

,(3.2.2)

имеющий нулевое математическое ожидание . Большинство СП, используемых в дальнейшем, в частности, помехи и случайные сигналы на входе РПрУ являются центрированными процессами.

Корреляционная функция СП (центральный момент второго порядка) равна математическому ожиданию произведения двух сечений центрированного процесса и , взятых в моменты времени t₁ и t₂ ,

(3.2.3)

и является в общем случае функцией двух отсчетных моментов времени t₁ и t₂ , которые могут принимать любые значения из области определения процесса: t₁, t₂ÎT.

Так как , то (условие симметрии)

.(3.2.4)

Определяется также корреляционная функция K_x(t₁,t₂) для не центрированных сечений (начальный момент второго порядка)

,(3.2.5)

которая, принимая во внимание (2), связана с корреляционной функцией R_x соотношением

.(3.2.6)

Корреляционная функция в совпадающие моменты времени t₁=t₂=t равна дисперсии СП

, (3.2.7)

которая характеризует разброс значений процесса X(t) относительно математического ожидания m_x(t) в момент tÎT.

Сечение процесса X(t₁) и X(t₂) называются некоррелированными, если функция корреляции R_x(t₁,t₂) для соответствующих отсчетных моментов t₁ и t₂ равна нулю: R_x(t₁,t₂)=0. Статистически независимые сечения X(t₁) и X(t₂) некоррелированны. Действительно, необходимым и достаточным условием статистической независимости сечений (случайных величин) X(t₁) и X(t₂) является факторизация двумерной ПВ

.(3.2.8)

При этом

.(3.2.9)

Обратное утверждение в общем случае не верно. Некоррелированность не означает независимость. Исключение составляют гауссовские СП, для которых некоррелированность обуславливает статистическую независимость (см.§.3.3.).

Приведем еще два обобщающих определения. Для двух СП X(t) и Y(t) вводится понятие взаимной корреляционной функции R_xy(t₁,t₂), определяемой смешанной ПВ второго порядка p(x₁,t₁; y₂,t₂) - совместной ПВ случайных величин X(t₁) и Y(t₂) (t₁, t₂ÎT)

.(3.2.10)

Два СП X(t) и Y(t) называются некоррелированными, если взаимная корреляционная функция R_xy(t₁,t₂) для любых t₁,t₂ÎT равна 0.

Для комплексных СП определением корреляционной функции является

(3.2.11)

Условие симметрии (4) для комплексных функций преобразуется в эрмитово свойство

. (3.2.12)