Вычисление определенного интеграла способом подстановки

При вычислении определённого интеграла так же приходится применять различные приёмы, в том числе и способ подстановки. Подстановка в определённом интеграле делается аналогично подстановке в неопределённом интеграле, но, кроме того, для получающегося интеграла нужно находить новые пределы интегрирования.

Алгоритм вычисления определённого интеграла методом подстановки:

1) Определить, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл;

2) Определить, какую часть подынтегральной функции необходимо заменить новой переменной, записать эту замену;

3) Вычислить дифференциал новой переменной и выразить через него оставшуюся без замены часть подынтегрального выражения;

4) Найти пределы интегрирования для новой переменной;

5) Выполнить замены под знаком интеграла;

6) Вынести за знак интеграла постоянный множитель;

7) Вычислить полученный табличный интеграл;

8) В полученное его выражение подставить вместо новой переменной сначала верхний предел интегрирования, а затем нижний, из первого результата вычесть второй.

Замечание: В отличие от неопределенного интеграла после подстановки новой переменной и замены пределов интегрировании в определённом интеграле все вычисления проводят с новой переменной и к старой переменной не возвращаются.

Пример: Вычислить: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;

Решение:

1) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 2) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 3) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;

4)

х Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Ответ: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

Упражнения: Вычислить определённые интегралы:

1) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 2) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 3) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;
4) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 5) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 6) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;
7) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 8) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 9) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;
10) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 11) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 12) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;
13) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 14) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 15) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;
16) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 17) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 18) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;

Ответы:

1) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 2) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 3) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 4) 2; 5) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 6) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;
7) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 8) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 9) 1; 10) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 11) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 12) 2;
13) 2; 14) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 15) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 16) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 17) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 18) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

Площадь криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью абсцисс ( Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ), двумя прямыми, параллельными оси ординат ( Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru , Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ), непрерывной и неотрицательной функцией Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru при рассматриваемых значениях аргумента.

Задача №1. Является ли фигура криволинейной трапецией?

 
  Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Рис. 5. Рис. 6. Рис. 7.

Решение:

Рис.1. Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая принимает отрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента.

Рис.2. Фигура не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена справа прямой, параллельной оси ординат.

Рис.3. Фигура не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена осью абсцисс.

Рис.4. Фигура является криволинейной трапецией, так как она ограничена осью абсцисс, двумя прямыми, параллельными оси ординат, непрерывной и неотрицательной функцией Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru при рассматриваемых значениях аргумента.

Рис.5. Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая принимает неотрицательные и отрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента.

Рис.6. Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая не является непрерывной при рассматриваемых значениях аргумента.

Рис.7. Фигура не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена осью абсцисс.

Задача №2. Выразить площади фигур через площади криволинейных трапеций.

 
  Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Рис. 4. Рис. 5.

Решение:

  1. Площадь фигуры BCE (Рис.1.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABCD u ABECD: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .
  2. Площадь фигуры ABC (Рис.2.) равна сумме площадей криволинейных трапеций ABD u BCD: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .
  3. Площадь фигуры BCDF (Рис.3.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABCDЕ u ABFDE: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .
  4. Площадь фигуры ABCD (Рис.4.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABC u ADC: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .
  5. Площадь фигуры ABC (Рис.5.) равна сумме площадей криволинейных трапеций ABD u BCD: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

Задача №3. Найти концы интервала, на котором построена фигура, ограниченная функциями:

1) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 2) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; 3) Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

 
  Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Решение:

1) Концами интервала a u b, на котором построена данная криволинейная трапеция, являются абсциссы точек пересечения параболы Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru и оси абсцисс Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Решим способом подстановки систему уравнений:

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru Û Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru Û Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;

Ответ: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

2) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения параболы Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru и прямой Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Решим способом подстановки систему уравнений:

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru Û Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru Û Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;

Ответ: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

3) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения парабол Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru и Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Решим способом подстановки систему уравнений:

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru Û Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru Û Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;

Ответ: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

Упражнения: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru Построить фигуру, ограниченную функциями Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru , Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru , Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru , Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Является ли фигура криволинейной трапецией? Найти концы интервала, на котором построена фигура.

Построим криволинейную трапецию Р0М0МР, ограниченную функцией Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru , положительной и возрастающей при рассматриваемых значениях аргумента Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

От чего зависит площадь криволинейной трапеции Р0М0МР?

1. Площадь криволинейной трапеции Р0М0МР зависит от длины отрезка Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru , на котором она построена: чем больше длина отрезка Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru , тем больше площадь криволинейной трапеции Р0М0МР .

2. Площадь криволинейной трапеции Р0М0МР зависит от вида ограничивающей её функции Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

Вывод: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной и неотрицательной функцией Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru на отрезке Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru оси абсцисс равна определённому интегралу в пределах от а до b от функции Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru Вывод: Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что определённый интеграл в пределах от а до b от непрерывной и неотрицательной функции Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru равен площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru на отрезке Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru оси абсцисс. Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Пример:

  1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru оси абсцисс и ограниченной функцией Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Сделать чертёж.

Решение:

Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

Ответ: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

  1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru оси абсцисс и ограниченной функцией Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Сделать чертёж.

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru Решение:

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru - ветви направлены вниз;

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru - вершина параболы;

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru - ось симметрии параболы;

х
у - 5

Концы интервала, на котором построена данная криволинейная трапеция, являются абсциссами точек пересечения параболы Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru и оси абсцисс Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Решим способом подстановки систему уравнений:

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru Û Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru Û Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ; Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru ;

Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Ответ: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru

Упражнения:

  1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru оси абсцисс и ограниченной функцией Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Сделать чертёж.
  2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru оси абсцисс и ограниченной функцией Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Сделать чертёж.
  3. Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru оси абсцисс и ограниченной функцией Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Сделать чертёж.
  4. Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru оси абсцисс и ограниченной функцией Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru . Сделать чертёж.
  5. Вычислить: Вычисление определенного интеграла способом подстановки - student2.ru .

Наши рекомендации