Тема 5 Неопределенный интеграл

Функция называется первообразной функции если Множество первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается .

Операции дифференцирования и интегрирования взаимнообратны:

,

поэтому нетрудно получить следующую таблицу интегралов:

1) ( ), 7) ,

2) , 8) ,

3) , 9) ,

4) , 10) ,

5) , 11) ,

6) , 12) .

Не останавливаясь на непосредственном интегрировании по формулам, как на простейшем способе решения примеров, перейдём сразу к более сложным методам.

5.1 Метод замены переменного

Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функции

Рассмотрим некоторую функцию , которая имеет непрерывную производную и обратную функцию . (Например: монотонна). Тогда справедлива формула:

. (1)

В некоторых ситуациях удается подобрать функцию так, что интеграл в правой части (1) оказывается проще, чем в левой части. Такой прием называется методом замены переменной. На практике часто формулу используют в обратную сторону:

. (2)

Другими словами, если подынтегральное выражение может быть записано в форме левой части (2), то с помощью подстановки получаем более простой интеграл (1).

Задача 1. .

Решение.

.

Задача 2. .

На практике часто используется следующая простая формула:

,

где - первообразная функции .

5.2 Интегрирование по частям

Формула интегрирования получается почленным интегрированием формулы производной произведения.

.

Смысл формулы заключается в том, что производная перебрасывается с одного множителя не другой и интеграл при этом может оказаться проще, чем исходный.

Можно выделить по крайней мере два класса интегралов, для которых применима формула интегрирования по частям.

I.

где - многочлен степени . В качестве нужно взять , а = - другой сомножитель.

При этом формулу приходится применить столько раз, какова степень многочлена.

II. .

В этом случае, наоборот, следует положить = .

Рассмотрим применение указанной схемы.

Задача 3.

.

Это интеграл первого типа, поэтому:

= =

= =

Задача 4. .

Это интеграл второго типа, поэтому имеем:

.

Заметим, что при использовании формулы интегрирования по частям приходится восстанавливать функцию по ее дифференциалу . Поэтому в качестве этого сомножителя нужно брать легко интегрируемую функцию.

Формула интегрирования по частям может хорошо сработать и в других случаях.

Задача 5. .

.

Получили уравнение относительного исходного интеграла I. Вынося I за скобки, получим

,

откуда

.

5.3 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

К этому типу интегралов относятся интегралы вида:

;

;

Мы увидим в дальнейшем, что без умения находить такие интегралы, мы не сможем вычислять интегралы от рациональных дробей.

Сначала научимся находить более простые интегралы видов и .Трудность заключается в наличии слагаемого bx. Если бы его не было, то, вынося за знак интеграла , получили бы интеграл вида (11) или (12). Решить проблему можно выделением полного квадрата.

Задача 6. .

Задача 7. .

Задача 8. .

Задача 9. .

где - интеграл, рассмотренный в примере 7.

5.4 Интегрирование рациональных дробей

Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных степенях) и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами (возможно в целых степенях). Известен алгебраический результат, что такое представление всегда возможно.

.

Вообще говоря, получение такого представления для многочленов высоких степеней является сложной задачей. Мы в дальнейшем будем считать, что знаменатель уже представлен в таком виде. Известен алгебраический результат, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся. При этом каждому линейному сомножителю вида в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида:

.

В частности при имеем только одно слагаемое: .

Каждому квадратичному сомножителю соответствует группа дробей вида:

,

а при - одно слагаемое .

Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие:

Задача 10. .

Задача 11. .

Задача 12.

.

Задача 13. .

Задача 14. .

Теоретически гарантируется, что все выписанные разложения справедливы. Остается научиться находить постоянные А, В, С … . Предположим, что указанные константы найдены. Тогда интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов вида:

I , III ,

II , IV .

Интегралы I и II видов табличные, интегралы III вида рассмотрены в предыдущей теме, интегралы IV вида вычисляются по той же схеме, что и III вида, но в отличие от них после выделения полного квадрата возникают интегралы вида:

,

которые находятся по рекуррентной формуле:

.

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров вычисления интегралов от правильных рациональных дробей. Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда знаменатель содержит только некратные линейные множители.

Задача 15. .

.

После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:

.

Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов А, В и С.

Если в данном тождестве в качестве взять конкретное значение, то получим линейное уравнение относительно А, В и С. Таких уравнений нам нужно три. Полученную систему можно решить, например, методом Гаусса. Однако можно гораздо легче найти коэффициенты, если в качестве брать не произвольные числа, а корни линейных сомножителей в знаменателе. При этом в правой части тождества будет присутствовать только один из неизвестных коэффициентов.

В результате получим:

.

Если знаменатель содержит квадратичные сомножители, то всегда нужно проверять, не будет ли D неотрицательным. Если да, то лучше разбить его на линейные сомножители.

Задача 16. .

.

Завершите самостоятельно вычисление данного интеграла.

Перейдем к рассмотрению чуть более сложного случая, когда знаменатель содержит только линейные сомножители, причем некоторые из них кратные.

Задача 17. .

.

Положив последовательно и , легко найдем два неизвестных коэффициента:

Остальные два найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:

Тогда

.

Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель содержит некратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.

Пример 18. .

.

.

Положим :

Остальные неизвестные найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях:

Тогда

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение первообразной функции.

2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Напишите формулы таблицы основных интегралов.

5. В чем сущность метода интегрирования заменой переменной?

6. Напишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Какие функции целесообразно интегрировать по частям? Почему?

7.Как разложить рациональную дробь на простейшие?