Необходимые условия для применения оптимизационных методов
Для того чтобы использовать математические результаты и численные методы теории оптимизации для решения конкретных инженерных задач, необходимо установить границы подлежащей оптимизации инженерной системы, определить количественный критерий, на основе которого можно произвести анализ вариантов с целью выявления «наилучшего», осуществить выбор внутрисистемных переменных, которые используются для определения характеристик и идентификации вариантов, и, наконец, построить модель, отражающую взаимосвязи между переменными. Эта последовательность действий составляет содержание процесса постановки задачи инженерной оптимизации. Корректная постановка задачи служит ключом к успеху оптимизационного исследования и ассоциируется в большей степени с искусством, нежели с точной наукой. Искусство постановки задач постигается в практической деятельности на примерах успешно реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфических особенностей различных методов теории оптимизации.
Определение границ системы
Прежде чем приступить к оптимизационному исследованию, важно четко определить границы изучаемой системы. Границы системы задаются пределами, отделяющими систему от внешней среды, и служат для выделения системы из ее окружения. При проведении анализа обычно предполагается, что взаимосвязи между системой и внешней средой зафиксированы на некотором выбранном уровне представления. Тем не менее, поскольку такие взаимосвязи всегда существуют, определение границ системы является первым шагом в процессе приближенного описания реальной системы.
В ряде случаев может оказаться, что первоначальный выбор границы является слишком жестким. Для более полного анализа данной инженерной системы может возникнуть необходимость расширения установленных границ системы путем включения других подсистем, оказывающих существенное влияние на функционирование исследуемой системы. производственного цеха. Расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и, следовательно, в значительной мере затрудняет ее анализ. Очевидно, что в инженерной практике следует, насколько это возможно, стремиться к разбиению больших сложных систем на относительно небольшие подсистемы, которые можно изучать по отдельности. Однако при этом необходимо иметь уверенность в том, что такая декомпозиция не приведет к излишнему упрощению реальной ситуации.
Характеристический критерий
Если подлежащая исследованию система определена и ее границы установлены, то на следующем этапе постановки задачи оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта, с тем чтобы выявить «наилучший» проект или множество «наилучших» условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются критерии экономического характера. Однако спектр возможных формулировок таких критериев весьма широк; при определении критерия могут использоваться такие экономические характеристики, как валовые капитальные затраты, издержки в единицу времени, чистая прибыль в единицу времени, доходы от инвестиций, отношение затрат к прибыли или собственный капитал на данный момент времени. В других приложениях критерий может основываться на некоторых технологических факторах, например, когда требуется минимизировать продолжительность процесса производства изделия, максимизировать темпы производства, минимизировать количество потребляемой энергии, максимизировать величину крутящего момента, максимизировать нагрузку и т. п. Независимо от того, какой критерий выбирается при оптимизации, «наилучшему» варианту всегда соответствует минимальное или максимальноезначение характеристического показателя качества функционирования системы.
Важно отметить, что независимо от содержания оптимизационных методов, рассматриваемых в настоящей книге, только один критерий (и, следовательно, характеристическая мера) может использоваться при определении оптимума, так как невозможно получить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат, максимум надежности и минимум потребляемой энергии. Здесь мы опять сталкиваемся с существенным упрощением реальной ситуации, поскольку в ряде практических случаев было бы весьма желательным найти решение, которое бы являлось «наилучшим» с позиций нескольких различных критериев.
1. Один из путей учета совокупности противоречивых целевых установок состоит в том, что какой-либо из критериев выбирается в качестве первичного, тогда как остальные критерии считаются вторичными. В этом случае первичный критерий используется при оптимизации как характеристическая мера, а вторичные критерии порождают ограничения оптимизационной задачи, которые устанавливают диапазоны изменений соответствующих показателей от минимального до максимального приемлемого значения.
Критерии не могут быть реализованы при оптимизации одновременно. Приемлемым компромиссом является выбор в качестве первичного характеристического показателя качества функционирования системы подлежащего минимизации показателя суммарных затрат в единицу времени с последующим учетом необходимых вторичных условий, к числу которых относится поддержание объемов складских запасов изделий всех видов в заранее установленных границах,, а также ограничение количества изменений в ассортименте изделий и используемых красок в течение недели.
Независимые переменные
На третьем основном этапе постановки задачи оптимизации осуществляется выбор независимых переменных, которые должны адекватно описывать допустимые проекты или условия функционирования системы. В процессе выбора независимых переменных следует принять во внимание ряд важных обстоятельств.
Во-первых, необходимо провести различие между переменными, значения которых могут изменяться в достаточно широком диапазоне, и переменными, значения которых фиксированы и определяются внешними факторами. Важно провести различие между теми параметрами системы, которые могут предполагаться постоянными, и параметрами, которые подвержены флуктуациям вследствие воздействия внешних или неконтролируемых факторов.
Во-вторых, при постановке задачи следует учитывать все основные переменные, которые влияют на функционирование системы или качество проекта. Независимые переменные должны выбираться таким образом, чтобы все важнейшие технико-экономические решения нашли отражение в формулировке задачи.
Еще одним существенным фактором, влияющим на выбор переменных, является уровень детализации при исследовании системы. Очень важно ввести в рассмотрение все основные независимые переменные, но не менее важно не «перегружать» задачу большим количеством мелких, несущественных деталей. При выборе независимых переменных целесообразно руководствоваться правилом, согласно которому следует рассматривать только те переменные, которые оказывают существенное влияние на характеристический критерий, выбранный для анализа сложной системы.
Модель системы
После того как характеристический критерий и независимые переменные выбраны, на следующем этапе постановки задачи необходимо построить модель, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой характеристическим критерием. В принципе оптимизационное исследование можно провести на основе непосредственного экспериментирования с системой.
Для этого следует зафиксировать значения независимых внутрисистемных переменных, реализовать процедуру наблюдения за функционированием системы в этих условиях и оценить значение характеристического показателя качества функционирования системы, исходя из зарегистрированных характеристик. Затем с помощью оптимизационных методов можно скорректировать значения независимых переменных и продолжить серию экспериментов. Однако на практике оптимизационные исследования проводятся, как правило, на основе упрощенного математического представления системы, которое носит название модели.Применение моделей обусловлено тем, что эксперименты с реальными системами обычно требуют слишком больших затрат средств и времени, а также в ряде случаев оказываются связанными с риском. Модели широко используются при инженерном проектировании, поскольку это открывает возможности для реализации наиболее экономичного способа изучения влияния изменений в значениях основных независимых переменных на показатель качества функционирования системы.
В самом общем представлении структура модели включает основные уравнения материальных и энергетических балансов, соотношения, связанные с проектными решениями, а также уравнения, описывающие физические процессы, протекающие в системе. Эти уравнения обычно дополняются неравенствами, которые определяют область допустимых значений независимых переменных, позволяют определить требования, накладываемые на верхние или нижние границы изменения характеристик функционирования системы, и установить лимиты имеющихся ресурсов. Таким образом, элементы модели содержат всю информацию, которая обычно используется при расчете проекта или прогнозировании характеристик инженерной системы. Очевидно, что процесс построения модели является весьма трудоемким и требует четкого понимания специфических особенностей рассматриваемой системы. В общем случае модель представляет собой некоторый набор уравнений и неравенств, которые определяют взаимосвязь между переменными системы и ограничивают область допустимых изменений переменных.