Определение размера селения балки

Этот расчёт выполняют, когда наибольший из относительных эксцентриситетов m_x и m_y имеет значение т от 5 до 20 и растяжение или сжатие балки необходимо учитывать в расчете, если т > 20, то стержневой элемент является изгибаемой балкой, растяжением и сжатием которой можно пренебречь.

Для балки основной нагрузкой является изгибающий момент. Условие прочности

(6)

Обычно один из моментов существенно меньше другого и при выборе сечения его можно не учитывать для упрощения расчета.

Основную часть нагрузки при изгибе воспринимают полки балки. Если доля момента инерции полок в моменте инерции всего сечения равна βто момент инерции

I_x = I_xn + I_xc = I_xn/β.(7)

Если две полки балки параллельны и имеют одинаковую площадь сечения А_n , то

I_xn = 2A_п(h₁/2)², (8)

где h₁ — расстояние между центрами сечений полок (моментом инерции полки относительно ее центра можно пренебречь). Если принять, что расстояние от оси x до самой удаленной части сечения у_max = h/2, a (h — высота балки), то

Тогда из уравнения (6), если М_y = 0,

где [σ], как и в п. 3, равно меньшему из двух значений — а γ R_v /см. формулу (3)/ или R_y /см. формулу (4)/. Площадь сечения стенки балки , причем можно принять . Тогда суммарное сечение балки

(9)

Оптимальную высоту балки можно найти из условия минимума площади сечения A:

Для двутавровой балки можно принять β = 0,8 , тогда ее оптимальная высота из условия прочности

(10)

Коробчатая балка имеет две стенки, поэтому для нее

(11)

Толщину стенки s_с обычно выбирают 5…10 мм. Кроме рассмотренного условия прочности балки существует условие жесткости. Балка в конструкции обычно создает жесткую ровную опору – для пола в здании, для тележки крана и т.д. Уклон не должен превышать предельного значения, которое обычно задают в виде прогиба на единицу длины балки. Предельный прогиб (вертикальное перемещение незакрепленного конца балки), приведенный в задании, равен 20 мм.

Уравнение, описывающее прогиб консольной балки, можно найти в справочнике или вывести, используя методы сопромата:

Из этого уравнения находят требуемый момент инерции

(12)

Далее, используя формулы (7) и (8), получают для двутавровой балки оптимальную высоту из условия жёстокости:

.

(13)

(14)

Для коробчатой балки

(15)

Теперь необходимо совместить полученные решения с учетом, одновременно и жесткости, и прочности. При сопоставлении требуемых моментов инерции, найденных из условия жесткости (12) и условия прочности

(16)

очевидно, что при малых значениях h условие прочности требует меньшего момента инерции, чем условие жесткости (рис. 4), а при больших h — большего. Из условия равенства требуемых моментов инерции можно определить h* – высоту балки, при которой выполняются с одинаковым коэффициентом запаса и условие прочности, и условие жесткости

Из рис. 4 ясно, что при h > h^* запас прочности больше, чем жесткости, а при h < h* – наоборот. Поэтому при h < h* расчет следует вести только на жесткость, а при h > h* — только на прочность. То есть h* является границей раздела, левее которой действуют уравнения жесткости (12)…(15), а правее – прочности (6), (9)… (11). Возможны четыре сочетания h(f), h* и h(σ). В первом случае /h(f) < h*, h(σ) < h*/оптимальной является высота балки h = h(f), во втором /h(f) > h*, h(σ) > h*/– h = h(σ), в третьем /h(f) > h*, h(σ) < h*/ – h = h*. B четвертом случае /h(f) < h*, h(σ) > h*/следует сравнить площадь сечения по формуле (9) при h = h(σ), по (13) при h = h (f) и выбрать h, при котором площадь меньше.

Если полученная оптимальная высота больше габаритной h_max, то принимают h = h_max, но сечение и масса в этом случае увеличиваются.

После выбора значения h остальные размеры сечения выбрать проще. Следует найти I_xпо формуле (12), если h < h*, или по (16), если h > h*. Затем определить момент инерции стенки (или стенок, если балка коробчатая). Остальная часть момента инерции I_п приходится на полки. Зная I_n, по формуле (8) рассчитывают I_п. Толщину полок выбирают, как правило, больше, чем стенок (от 10 до 30 мм). При выборе толщины стенок и полок следует учитывать, что уменьшение толщины стенки уменьшает массу балки, не может привести к местной потере устойчивости стенки. Уменьшение толщины полки и увеличение ее ширины улучшает общую устойчивость балки и ее работу на изгиб в горизонтальной плоскости, но может также привести к потере местной устойчивости в полке. По этим причинам может потребоваться корректировка выбранных размеров при проверочных расчетах.